Calcule a massa das superfícies abaixo uma vez que é conhecida a densidade superficial
:
(a)
e
é a esfera de contro na origem e raio
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a massa de uma superfície sabendo que a densidade superficial é dada por
. A superfície
é uma esfera centrada na origem com raio
. Vamos usar conceitos de cálculo de massa em superfícies no espaço tridimensional e integração em coordenadas esféricas para achar a resposta.
Passo 2
Primeiro, a massa de uma superfície é calculada integrando a densidade superficial sobre toda a superfície. A fórmula para massa é:
Aqui,
representa um elemento de área na superfície
.
Passo 3
Como estamos lidando com uma esfera, o melhor jeito de parametrizar a superfície é usando coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, um ponto na esfera de raio
é dado por:
Onde
varia de
a
e
de
a
.
Passo 4
Vamos substituir as coordenadas esféricas na densidade superficial
:
Isso simplifica para:
O elemento de área
na esfera é:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na integral da massa:
Passo 6
Vamos resolver as integrais separadamente. A primeira integral é:
A segunda integral é:
Usamos a fórmula
para
ímpar:
Multiplicando tudo:
Resposta
A massa da superfície é
.
Exercícios relacionados
Calcule a massa das superfícies abaixo uma vez que é conhecida a densidade superficial
:
(b) e
é a parte do plano
dentro do cilindro
.
(b)
Calcule
:
b) , onde
é o retângulo de vértices
aponta em direção oposta à da origem.
b)
Calcule
:
a) , onde
é o hemisfério
, com
apontando para o exterior da esfera.
a)
Considere que
é o gráfico da função,
, ou seja,
é dada por
. Prove que a área de
é dada por
.