Calcule a massa das superfícies abaixo uma vez que é conhecida a densidade superficial delta :
(a) delta(x, y, z) = x^2 + y^2 e S é a esfera de contro na origem e raio a.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a massa de uma superfície sabendo que a densidade superficial é dada por . A superfície S é uma esfera centrada na origem com raio a. Vamos usar conceitos de cálculo de massa em superfícies no espaço tridimensional e integração em coordenadas esféricas para achar a resposta.

Passo 2

Primeiro, a massa de uma superfície é calculada integrando a densidade superficial sobre toda a superfície. A fórmula para massa é:
Aqui, representa um elemento de área na superfície S.

Passo 3

Como estamos lidando com uma esfera, o melhor jeito de parametrizar a superfície é usando coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, um ponto na esfera de raio a é dado por:
Onde theta varia de 0 a pi e phi de 0 a .

Passo 4

Vamos substituir as coordenadas esféricas na densidade superficial delta:
Isso simplifica para:
O elemento de área na esfera é:

Passo 5

Agora, substituímos delta e na integral da massa:

Passo 6

Vamos resolver as integrais separadamente. A primeira integral é:
A segunda integral é:
Usamos a fórmula para n ímpar:
Multiplicando tudo:

Resposta

A massa da superfície é .

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