Calcule a massa das superfícies abaixo uma vez que é conhecida a densidade superficial :
(a) e é a esfera de contro na origem e raio .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a massa de uma superfície sabendo que a densidade superficial é dada por . A superfície é uma esfera centrada na origem com raio . Vamos usar conceitos de cálculo de massa em superfícies no espaço tridimensional e integração em coordenadas esféricas para achar a resposta.

Passo 2

Primeiro, a massa de uma superfície é calculada integrando a densidade superficial sobre toda a superfície. A fórmula para massa é:
Aqui, representa um elemento de área na superfície .

Passo 3

Como estamos lidando com uma esfera, o melhor jeito de parametrizar a superfície é usando coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, um ponto na esfera de raio é dado por:
Onde varia de a e de a .

Passo 4

Vamos substituir as coordenadas esféricas na densidade superficial :
Isso simplifica para:
O elemento de área na esfera é:

Passo 5

Agora, substituímos e na integral da massa:

Passo 6

Vamos resolver as integrais separadamente. A primeira integral é:
A segunda integral é:
Usamos a fórmula para ímpar:
Multiplicando tudo:

Resposta

A massa da superfície é .

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Calcule a massa das superfícies abaixo uma vez que é conhecida a densidade superficial :
(b) e é a parte do plano dentro do cilindro .
Calcule :
b) , onde é o retângulo de vértices aponta em direção oposta à da origem.
Calcule :
a) , onde é o hemisfério , com apontando para o exterior da esfera.
Considere que é o gráfico da função, , ou seja, é dada por . Prove que a área de é dada por .