Seja a porção da esfera que se encontra dentro do parabolóide . Calcule a massa de sabendo que a densidade de massa em cada ponto é igual ao quadrado da distância do ponto ao eixo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma parte da esfera definida pela equação que está dentro do parabolóide . A gente precisa calcular a massa dessa porção da esfera, sabendo que a densidade em cada ponto é igual ao quadrado da distância desse ponto ao eixo . Para resolver isso, vamos usar cálculo de integrais de superfície e coordenadas esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a densidade. A distância de um ponto ao eixo é dada por . Então, o quadrado dessa distância é . Ou seja, a densidade em cada ponto é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a região da esfera que está dentro do parabolóide. Igualando as duas equações para encontrar a interseção:
Vamos simplificar substituindo :
Multiplicando tudo por 9 para eliminar o denominador:
Rearranjando:

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática em :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Descartamos a solução negativa:
Portanto, a interseção ocorre quando e .

Passo 5

Para calcular a massa, vamos usar a integral de superfície:
Vamos mudar para coordenadas esféricas, onde:
No nosso caso, (raio da esfera), então:

Passo 6

A área diferencial em coordenadas esféricas é:
Então, a massa fica:

Passo 7

Precisamos encontrar o limite onde a esfera e o paraboloide se intersectam. Sabemos que , então:

Passo 8

Agora, calculamos a integral:
A integral de é:
Então:

Resposta

A massa de é .

Exercícios relacionados

Calcule , onde
e é a porção do cilindro , no primeiro octante, entre os planos e .
Calcule , onde
e , com .
Calcule , onde
e é a parte do cilindro , situado no primeiro octante, entre e apontando para o eixo .
Calcule , onde
e é a parte do plano , limitada pelo cilindro , com tal que