Seja
a porção da esfera
que se encontra dentro do parabolóide
. Calcule a massa de
sabendo que a densidade de massa em cada ponto
é igual ao quadrado da distância do ponto ao eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma parte da esfera definida pela equação
que está dentro do parabolóide
. A gente precisa calcular a massa dessa porção da esfera, sabendo que a densidade em cada ponto é igual ao quadrado da distância desse ponto ao eixo
. Para resolver isso, vamos usar cálculo de integrais de superfície e coordenadas esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a densidade. A distância de um ponto
ao eixo
é dada por
. Então, o quadrado dessa distância é
. Ou seja, a densidade
em cada ponto é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a região da esfera que está dentro do parabolóide. Igualando as duas equações para encontrar a interseção:
Vamos simplificar substituindo
:
Multiplicando tudo por 9 para eliminar o denominador:
Rearranjando:
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática em
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Descartamos a solução negativa:
Portanto, a interseção ocorre quando
e
.
Passo 5
Para calcular a massa, vamos usar a integral de superfície:
Vamos mudar para coordenadas esféricas, onde:
No nosso caso,
(raio da esfera), então:
Passo 6
A área diferencial em coordenadas esféricas é:
Então, a massa fica:
Passo 7
Precisamos encontrar o limite
onde a esfera e o paraboloide se intersectam. Sabemos que
, então:
Passo 8
Agora, calculamos a integral:
A integral de
é:
Então:
Resposta
A massa de
é
.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
e
é a porção do cilindro
, no primeiro octante, entre os planos
e
.
Calcule
, onde
e
, com
.
Calcule
, onde
e
é a parte do cilindro
, situado no primeiro octante, entre
e
apontando para o eixo
.
Calcule
, onde
e
é a parte do plano
, limitada pelo cilindro
, com
tal que