Calcule , onde
e é a parte da esfera fora do cilindro , apontando para fora.

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral de fluxo , onde . A superfície é a parte da esfera que está fora do cilindro . A gente vai precisar usar o Teorema da Divergência e entender como parametrizar a superfície para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a esfera e o cilindro. A esfera tem raio 2 (já que ) e o cilindro tem raio 1. A região é, então, a parte da esfera que está fora desse cilindro. Para facilitar, vamos usar coordenadas esféricas, onde , , e . Aqui, porque estamos na superfície da esfera.

Passo 3

A normal que aponta para fora da esfera é simplesmente a unitária radial, ou seja, . Como estamos na esfera de raio 2, . Mas como , vamos substituir .

Passo 4

Agora, a integral fica:
Substituindo :

Passo 5

A área diferencial em coordenadas esféricas é . Como :
Então, a integral se torna:
Onde é o ângulo que corresponde à interseção da esfera com o cilindro .

Passo 6

Para encontrar , usamos a interseção da esfera com o cilindro:
Subtraindo as duas equações:
Então, .

Passo 7

Agora, substituindo :
Primeiro, integramos em relação a :
Fazendo a substituição , :

Passo 8

Agora, multiplicamos pelo e integramos em relação a :
Simplificando:

Resposta

A integral de fluxo é .

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Calcule , onde
e é a união da superfície , com , indicando a orientação escolhida para .
Suponha que , onde é uma função de uma variável, tal que . Calcule , onde é a esfera .