Calcule
, onde
e
é a parte da esfera
fora do cilindro
,
apontando para fora.
Passo 1
Então, a gente tem que calcular a integral de fluxo
, onde
. A superfície
é a parte da esfera
que está fora do cilindro
. A gente vai precisar usar o Teorema da Divergência e entender como parametrizar a superfície para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a esfera e o cilindro. A esfera tem raio 2 (já que
) e o cilindro tem raio 1. A região
é, então, a parte da esfera que está fora desse cilindro. Para facilitar, vamos usar coordenadas esféricas, onde
,
, e
. Aqui,
porque estamos na superfície da esfera.
Passo 3
A normal
que aponta para fora da esfera é simplesmente a unitária radial, ou seja,
. Como estamos na esfera de raio 2,
. Mas como
, vamos substituir
.
Passo 4
Agora, a integral fica:
Substituindo
:
Passo 5
A área diferencial em coordenadas esféricas é
. Como
:
Então, a integral se torna:
Onde
é o ângulo que corresponde à interseção da esfera com o cilindro
.
Passo 6
Para encontrar
, usamos a interseção da esfera com o cilindro:
Subtraindo as duas equações:
Então,
.
Passo 7
Agora, substituindo
:
Primeiro, integramos em relação a
:
Fazendo a substituição
,
:
Passo 8
Agora, multiplicamos pelo
e integramos em relação a
:
Simplificando:
Resposta
A integral de fluxo é
.
Exercícios relacionados
Mostre que o momento de inércia em relação ao eixo
da casca do cone
de altura
que está no primeiro octante com densidade constante é
, onde
é a massa total.
Mostre que o momento de inércia de uma casca cilíndrica de comprimento
e raio da base
, com densidade constante, em relação a um diâmetro do círculo cujo centro coincide com o centro da casca cilíndrica, é
, onde
é a massa total.
Calcule
, onde
e
é a união da superfície
, com
, indicando a orientação escolhida para
.
Suponha que
, onde
é uma função de uma variável, tal que
. Calcule
, onde
é a esfera
.