Calcule integral duplaS F cdot n d S, onde
F(x, y, z)=-z k e S é a parte da esfera x^2+y^2+z^2=4 fora do cilindro x^2+y^2=1, n apontando para fora.

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral de fluxo integral duplaS F cdot n d S, onde F(x, y, z)=-z k. A superfície S é a parte da esfera x^2+y^2+z^2=4 que está fora do cilindro x^2+y^2=1. A gente vai precisar usar o Teorema da Divergência e entender como parametrizar a superfície para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a esfera e o cilindro. A esfera tem raio 2 (já que 4 = 2^2) e o cilindro tem raio 1. A região S é, então, a parte da esfera que está fora desse cilindro. Para facilitar, vamos usar coordenadas esféricas, onde x = rho sinphi costheta, y = rho sinphi sintheta, e z = rho cosphi. Aqui, rho = 2 porque estamos na superfície da esfera.

Passo 3

A normal n que aponta para fora da esfera é simplesmente a unitária radial, ou seja, n = r|r|. Como estamos na esfera de raio 2, n = r2. Mas como F = -z k, vamos substituir z = 2 cosphi.

Passo 4

Agora, a integral fica:
integral duplaS F cdot n d S = integral duplaS (-z) cdot z2 d S = integral duplaS (-z^22) d S
Substituindo z = 2 cosphi:
= integral duplaS (-(2 cosphi)^22) d S = integral duplaS (-2 cos^2phi) d S

Passo 5

A área diferencial em coordenadas esféricas é dS = rho^2 sinphi dphi dtheta. Como rho = 2:
dS = 4 sinphi dphi dtheta
Então, a integral se torna:
-2 integral0^2pi integral0^phi0 cos^2phi cdot 4 sinphi dphi dtheta
Onde phi0 é o ângulo que corresponde à interseção da esfera com o cilindro x^2 + y^2 = 1.

Passo 6

Para encontrar phi0, usamos a interseção da esfera com o cilindro:
x^2 + y^2 = 1 e x^2 + y^2 + z^2 = 4
Subtraindo as duas equações:
z^2 = 3 implies z = raiz3
Então, z = 2 cosphi = raiz3 implies cosphi = raiz32 implies phi0 = pi6.

Passo 7

Agora, substituindo phi0 = pi6:
-8 integral0^2pi integral0^pi6 cos^2phi sinphi dphi dtheta
Primeiro, integramos em relação a phi:
integral0^pi6 cos^2phi sinphi dphi
Fazendo a substituição u = cosphi, du = -sinphi dphi:
-integral1^raiz32 u^2 du = integralraiz32^1 u^2 du = [u^33]raiz32^1 = 13 - (raiz32)^33 = 13 - 3raiz324 = 13 - raiz38

Passo 8

Agora, multiplicamos pelo -8 e integramos em relação a theta:
-8 cdot (13 - raiz38) cdot integral0^2pi dtheta = -8 cdot (13 - raiz38) cdot 2pi
Simplificando:
= -16pi (13 - raiz38) = -16pi3 + 2pi raiz3

Resposta

A integral de fluxo é - dfrac16pi3 + 2pi raiz3.

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