Calcule
, onde
e
é a união da superfície
, com
, indicando a orientação escolhida para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de fluxo
, onde
é um campo vetorial dado, e
é a união da superfície lateral de um cilindro
entre
e
, junto com a base do cilindro no plano
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de fluxo sobre uma superfície fechada com a integral tripla da divergência do campo no volume delimitado por essa superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a integral de fluxo. Ela mede o quanto o campo
“atravessa” a superfície
. Para facilitar os cálculos, vamos considerar se
pode ser fechada adicionando mais uma superfície e assim aplicar o Teorema da Divergência.
Passo 3
Observando
, temos a parte lateral do cilindro e a base inferior no plano
. Para fechar a superfície, precisamos adicionar a base superior no plano
. Assim, teremos uma superfície fechada que envolve um volume
, o cilindro completo.
Passo 4
Segundo o Teorema da Divergência, temos:
Onde
é a superfície fechada e
é o volume dentro dela. No nosso caso,
, onde
é a base no plano
.
Passo 5
Vamos calcular a divergência do campo
. A divergência é dada por:
Onde
.
Passo 6
Calculando cada derivada parcial:
Passo 7
Somando as derivadas parciais para encontrar a divergência:
Passo 8
Visto que a divergência é zero, a integral tripla da divergência sobre o volume
também será zero:
Então, pelo Teorema da Divergência:
Passo 9
Agora, lembrando que
, temos:
Portanto:
Passo 10
Vamos calcular a integral sobre
, que está no plano
. Nessa superfície, o vetor normal
aponta para cima, então
.
O campo
em
fica:
Simplificando:
Passo 11
Calculando o produto escalar
na superfície superior:
Então, a integral sobre
é:
Como
é o disco
no plano
, podemos mudar para coordenadas polares para facilitar:
Passo 12
Substituindo em coordenadas polares:
Distribuindo
:
Passo 13
Integrando em relação a
:
Portanto, a integral fica:
Passo 14
Calculando cada integral:
Então:
Passo 15
Voltando à relação anterior:
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
e
é a parte da esfera
fora do cilindro
,
apontando para fora.
Mostre que o momento de inércia em relação ao eixo
da casca do cone
de altura
que está no primeiro octante com densidade constante é
, onde
é a massa total.
Suponha que
, onde
é uma função de uma variável, tal que
. Calcule
, onde
é a esfera
.
Determine o momento de inércia em relação ao eixo
da superfície
, limitada por
e
, sendo a densidade
.