Calcule , onde
e é a união da superfície , com , indicando a orientação escolhida para .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de fluxo , onde é um campo vetorial dado, e é a união da superfície lateral de um cilindro entre e , junto com a base do cilindro no plano . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de fluxo sobre uma superfície fechada com a integral tripla da divergência do campo no volume delimitado por essa superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a integral de fluxo. Ela mede o quanto o campo “atravessa” a superfície . Para facilitar os cálculos, vamos considerar se pode ser fechada adicionando mais uma superfície e assim aplicar o Teorema da Divergência.

Passo 3

Observando , temos a parte lateral do cilindro e a base inferior no plano . Para fechar a superfície, precisamos adicionar a base superior no plano . Assim, teremos uma superfície fechada que envolve um volume , o cilindro completo.

Passo 4

Segundo o Teorema da Divergência, temos:
Onde é a superfície fechada e é o volume dentro dela. No nosso caso, , onde é a base no plano .

Passo 5

Vamos calcular a divergência do campo . A divergência é dada por:
Onde .

Passo 6

Calculando cada derivada parcial:

Passo 7

Somando as derivadas parciais para encontrar a divergência:

Passo 8

Visto que a divergência é zero, a integral tripla da divergência sobre o volume também será zero:
Então, pelo Teorema da Divergência:

Passo 9

Agora, lembrando que , temos:
Portanto:

Passo 10

Vamos calcular a integral sobre , que está no plano . Nessa superfície, o vetor normal aponta para cima, então .
O campo em fica:
Simplificando:

Passo 11

Calculando o produto escalar na superfície superior:
Então, a integral sobre é:
Como é o disco no plano , podemos mudar para coordenadas polares para facilitar:

Passo 12

Substituindo em coordenadas polares:
Distribuindo :

Passo 13

Integrando em relação a :
Portanto, a integral fica:

Passo 14

Calculando cada integral:
Então:

Passo 15

Voltando à relação anterior:

Resposta

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Calcule , onde
e é a parte da esfera fora do cilindro , apontando para fora.
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