Calcule integral duplaS F cdot n d S, onde
F(x, y, z)=(-3 x y z^2) i+(x+2 y z-2 x z^4) j+(y z^3-z^2) k e S é a união da superfície x^2+y^2=1,0 <= z <= 1, com z=0, x^2+y^2 <= 1, indicando a orientação escolhida para S.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de fluxo , onde é um campo vetorial dado, e é a união da superfície lateral de um cilindro entre e , junto com a base do cilindro no plano . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de fluxo sobre uma superfície fechada com a integral tripla da divergência do campo no volume delimitado por essa superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a integral de fluxo. Ela mede o quanto o campo “atravessa” a superfície . Para facilitar os cálculos, vamos considerar se pode ser fechada adicionando mais uma superfície e assim aplicar o Teorema da Divergência.

Passo 3

Observando , temos a parte lateral do cilindro e a base inferior no plano . Para fechar a superfície, precisamos adicionar a base superior no plano . Assim, teremos uma superfície fechada que envolve um volume , o cilindro completo.

Passo 4

Segundo o Teorema da Divergência, temos:
integral duplaSfechada F cdot n , dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
Onde é a superfície fechada e é o volume dentro dela. No nosso caso, , onde é a base no plano .

Passo 5

Vamos calcular a divergência do campo nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z . A divergência é dada por:
Onde .

Passo 6

Calculando cada derivada parcial:
partial Fxpartial x = partial (-3xy z^2)partial x = -3y z^2
partial Fypartial y = partial (x + 2y z - 2x z^4)partial y = 2z
partial Fzpartial z = partial (y z^3 - z^2)partial z = 3y z^2 - 2z

Passo 7

Somando as derivadas parciais para encontrar a divergência:
nabla cdot F = (-3y z^2) + (2z) + (3y z^2 - 2z) = 0

Passo 8

Visto que a divergência é zero, a integral tripla da divergência sobre o volume integral triplaV nabla cdot F , dV = 0 também será zero:
integral duplaSfechada F cdot n , dS = 0
Então, pelo Teorema da Divergência:

Passo 9

Agora, lembrando que integral duplaS F cdot n , dS + integral duplaSsuperior F cdot n , dS = 0 , temos:
integral duplaS F cdot n , dS = - integral duplaSsuperior F cdot n , dS
Portanto:

Passo 10

Vamos calcular a integral sobre F(x, y, 1) = (-3x y (1)^2) , i + (x + 2y (1) - 2x (1)^4) , j + (y (1)^3 - (1)^2) , k = (-3xy) , i + (x + 2y - 2x) , j + (y - 1) , k , que está no plano F(x, y, 1) = (-3xy) , i + (-x + 2y) , j + (y - 1) , k . Nessa superfície, o vetor normal aponta para cima, então .
O campo em fica:
Simplificando:

Passo 11

Calculando o produto escalar F cdot n = (y - 1) na superfície superior:
integral duplaSsuperior (y - 1) , dS
Então, a integral sobre x = r costheta, y = r sintheta, dS = r , dr , dtheta é:
Como é o disco no plano , podemos mudar para coordenadas polares para facilitar:

Passo 12

Substituindo em coordenadas polares:
integral duplaSsuperior (y - 1) , dS = integral0^2pi integral0^1 (r sintheta - 1) , r , dr , dtheta
Distribuindo = integral0^2pi integral0^1 (r^2 sintheta - r) , dr , dtheta :

Passo 13

Integrando em relação a integral0^1 r^2 sintheta , dr = sintheta [ r^33 ]0^1 = sintheta3 :
integral0^1 (-r) , dr = - [ r^22 ]0^1 = -12
= integral0^2pi ( sintheta3 - 12 ) , dtheta = 13 integral0^2pi sintheta , dtheta - 12 integral0^2pi dtheta
Portanto, a integral fica:

Passo 14

Calculando cada integral:
integral0^2pi sintheta , dtheta = 0
integral0^2pi dtheta = 2pi
Então:
= 13 cdot 0 - 12 cdot 2pi = -pi

Passo 15

Voltando à relação anterior:
integral duplaS F cdot n , dS = - integral duplaSsuperior F cdot n , dS = - (-pi) = pi

Resposta

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