Mostre que o momento de inércia em relação ao eixo
da casca do cone
de altura
que está no primeiro octante com densidade constante é
, onde
é a massa total.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre o momento de inércia de uma casca de cone. O enunciado nos pede para mostrar que o momento de inércia em relação ao eixo
é
, onde
é a massa total e
é a altura do cone. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral e geometria do cone.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a geometria do cone. A equação
representa um cone circular reto que se abre para cima. Como estamos trabalhando no primeiro octante, isso significa que
. A altura do cone é
, então quando
, temos o perímetro da base.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que o momento de inércia
em relação ao eixo
para uma superfície é dado por:
onde
é a distância de um ponto na casca ao eixo
.
Passo 4
Para parametrizar a superfície do cone, podemos usar coordenadas cilíndricas. Assim, temos:
Aqui,
varia de 0 a
e
varia de 0 a
porque estamos no primeiro octante.
Passo 5
A massa infinitesimal
de uma pequena área na superfície é dada por:
onde
é a densidade superficial constante. A área diferencial em coordenadas cilíndricas para a superfície do cone é:
Como
, temos
, então:
Passo 6
A distância
ao eixo
é simplesmente o próprio
nas coordenadas cilíndricas. Então, o momento de inércia fica:
Passo 7
Calculando a integral sobre
:
Então,
Passo 8
Agora, precisamos relacionar a massa total
com a densidade e a área total da casca. A massa
é:
Resolvendo para
:
Passo 9
Substituindo de volta no
:
Ops! Parece que houve um erro na conta. Vamos revisar rapidamente.
Passo 10
Na verdade, ao calcular a área total
da casca no primeiro octante:
Portanto, a massa
é:
Substituindo novamente:
Resposta
O momento de inércia em relação ao eixo
da casca do cone no primeiro octante é
.
Exercícios relacionados
Mostre que o momento de inércia de uma casca cilíndrica de comprimento
e raio da base
, com densidade constante, em relação a um diâmetro do círculo cujo centro coincide com o centro da casca cilíndrica, é
, onde
é a massa total.
Seja
a superfície do sólido limitado inferiormente pelo parabolóide
e superiormente pelo plano
. Se a densidade de massa é dada por
, calcule a massa de
.
Calcule
, onde
e
é a parte da esfera
fora do cilindro
,
apontando para fora.
Calcule
, onde
e
é a união da superfície
, com
, indicando a orientação escolhida para
.