Mostre que o momento de inércia em relação ao eixo z da casca do cone z = raiz(x^2 + y^2) de altura h que está no primeiro octante com densidade constante é I = M * h^2 / 2, onde M é a massa total.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre o momento de inércia de uma casca de cone. O enunciado nos pede para mostrar que o momento de inércia em relação ao eixo é , onde é a massa total e é a altura do cone. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral e geometria do cone.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a geometria do cone. A equação representa um cone circular reto que se abre para cima. Como estamos trabalhando no primeiro octante, isso significa que . A altura do cone é , então quando , temos o perímetro da base.

Passo 3

Agora, vamos lembrar que o momento de inércia em relação ao eixo para uma superfície é dado por:
onde é a distância de um ponto na casca ao eixo .

Passo 4

Para parametrizar a superfície do cone, podemos usar coordenadas cilíndricas. Assim, temos:
Aqui, varia de 0 a e varia de 0 a porque estamos no primeiro octante.

Passo 5

A massa infinitesimal de uma pequena área na superfície é dada por:
onde é a densidade superficial constante. A área diferencial em coordenadas cilíndricas para a superfície do cone é:
Como , temos , então:

Passo 6

A distância ao eixo é simplesmente o próprio nas coordenadas cilíndricas. Então, o momento de inércia fica:

Passo 7

Calculando a integral sobre :
Então,

Passo 8

Agora, precisamos relacionar a massa total com a densidade e a área total da casca. A massa é:
Resolvendo para :

Passo 9

Substituindo de volta no :
Ops! Parece que houve um erro na conta. Vamos revisar rapidamente.

Passo 10

Na verdade, ao calcular a área total da casca no primeiro octante:
Portanto, a massa é:
Substituindo novamente:

Resposta

O momento de inércia em relação ao eixo da casca do cone no primeiro octante é .

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