Mostre que o momento de inércia de uma casca cilíndrica de comprimento
e raio da base
, com densidade constante, em relação a um diâmetro do círculo cujo centro coincide com o centro da casca cilíndrica, é
, onde
é a massa total.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão quer saber qual é o momento de inércia de uma casca cilíndrica com comprimento
, raio
e massa total
, em relação a um dos diâmetros do círculo que forma a base. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é momento de inércia e como calcular para objetos com simetria cilíndrica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é momento de inércia. É uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação a um eixo de rotação. Quanto mais distante a massa estiver do eixo, maior será o momento de inércia. A fórmula geral para o momento de inércia (
) é:
onde
é a distância de um elemento de massa
até o eixo de rotação.
Passo 3
No caso da casca cilíndrica, podemos decompor o momento de inércia em duas partes: uma relacionada ao raio do cilindro (
) e outra ao comprimento (
). Isso porque a casca tem uma distribuição de massa tanto ao redor do círculo quanto ao longo do comprimento.
Passo 4
Vamos calcular a parte relacionada ao raio primeiro. Para uma casca cilíndrica, toda a massa está a uma distância
do eixo central. Então, o momento de inércia apenas nessa direção é:
Passo 5
Agora, vamos considerar a distribuição da massa ao longo do comprimento
. Isso é parecido com calcular o momento de inércia de uma barra em relação ao seu centro. A fórmula para uma barra de comprimento
é:
Passo 6
Como a casca cilíndrica tem ambas as contribuições, o momento de inércia total será a soma das duas partes que calculamos:
Resposta
Portanto, o momento de inércia da casca cilíndrica é:
Exercícios relacionados
Seja
a superfície do sólido limitado inferiormente pelo parabolóide
e superiormente pelo plano
. Se a densidade de massa é dada por
, calcule a massa de
.
Calcule
, onde
e : é a parte da superfície cônica
, limitada por
, com
.
Mostre que o momento de inércia em relação ao eixo
da casca do cone
de altura
que está no primeiro octante com densidade constante é
, onde
é a massa total.
Calcule
, onde
e
é a parte da esfera
fora do cilindro
,
apontando para fora.