Mostre que o momento de inércia de uma casca cilíndrica de comprimento e raio da base , com densidade constante, em relação a um diâmetro do círculo cujo centro coincide com o centro da casca cilíndrica, é , onde é a massa total.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão quer saber qual é o momento de inércia de uma casca cilíndrica com comprimento , raio e massa total , em relação a um dos diâmetros do círculo que forma a base. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é momento de inércia e como calcular para objetos com simetria cilíndrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é momento de inércia. É uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação a um eixo de rotação. Quanto mais distante a massa estiver do eixo, maior será o momento de inércia. A fórmula geral para o momento de inércia ( ) é:
onde é a distância de um elemento de massa até o eixo de rotação.

Passo 3

No caso da casca cilíndrica, podemos decompor o momento de inércia em duas partes: uma relacionada ao raio do cilindro ( ) e outra ao comprimento ( ). Isso porque a casca tem uma distribuição de massa tanto ao redor do círculo quanto ao longo do comprimento.

Passo 4

Vamos calcular a parte relacionada ao raio primeiro. Para uma casca cilíndrica, toda a massa está a uma distância do eixo central. Então, o momento de inércia apenas nessa direção é:

Passo 5

Agora, vamos considerar a distribuição da massa ao longo do comprimento . Isso é parecido com calcular o momento de inércia de uma barra em relação ao seu centro. A fórmula para uma barra de comprimento é:

Passo 6

Como a casca cilíndrica tem ambas as contribuições, o momento de inércia total será a soma das duas partes que calculamos:

Resposta

Portanto, o momento de inércia da casca cilíndrica é:

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Calcule , onde
e : é a parte da superfície cônica , limitada por , com .
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Calcule , onde
e é a parte da esfera fora do cilindro , apontando para fora.