Suponha que f(x, y, z)=(x^2+y^2) cdot g(raizx^2+y^2+z^2), onde g é uma função de uma variável, tal que g(2)=-5. Calcule integral duplaS f(x y, z) d S, onde S é a esfera x^2+y^2+z^2=4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que envolve calcular uma integral de superfície sobre uma esfera. O enunciado fala sobre uma função , onde é uma função qualquer que, no ponto 2, vale . A tarefa é calcular a integral de sobre a superfície da esfera definida por .
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre integrais de superfície e propriedades de esferas. Também vamos usar a simetria da esfera para simplificar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função f(x, y, z) = (x^2 + y^2) cdot g(2) = (x^2 + y^2) cdot (-5) = -5(x^2 + y^2) na superfície da esfera . Na esfera, a equação nos diz que a distância de qualquer ponto até a origem é constante e igual a 2, ou seja, .
Como é uma função de uma variável e no ponto 2 ela vale , substituindo na função temos:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a integral de integral duplaS f(x, y, z) , dS = integral duplaS -5(x^2 + y^2) , dS = -5 integral duplaS (x^2 + y^2) , dS sobre a superfície :
Vamos focar em calcular .

Passo 4

Na superfície da esfera, sabemos que:
x^2 + y^2 + z^2 = 4
Queremos x^2 + y^2 = 4 - z^2 , então podemos rearranjar a equação:
integral duplaS x^2 , dS = integral duplaS y^2 , dS = integral duplaS z^2 , dS
Porém, para facilitar a integração, vamos usar a simetria da esfera. Em uma esfera, as integrais de integral duplaS (x^2 + y^2 + z^2) , dS = integral duplaS 4 , dS = 4 cdot Área(S) , e sobre a superfície são iguais devido à simetria.
Portanto:
E sabemos que:
Á
Onde Á é a área da esfera.

Passo 5

Como as integrais de 3 integral duplaS x^2 , dS = 4 cdot Área(S) , integral duplaS x^2 , dS = 43 cdot Área(S) e integral duplaS y^2 , dS = 43 cdot Área(S) são iguais, podemos dizer:
integral duplaS (x^2 + y^2) , dS = 83 cdot Área(S) Á
Portanto:
Á
Da mesma forma:
Á
Então, somando e :
Á

Passo 6

Agora, vamos calcular a área da esfera Área(S) = 4pi r^2 com raio 2. A fórmula da área de uma esfera é:
Área(S) = 4pi (2)^2 = 16pi Á
Substituindo :
Á

Passo 7

Voltando à integral de integral duplaS (x^2 + y^2) , dS = 83 cdot 16pi = 1283pi :

Passo 8

Finalmente, lembrando que temos um fator de integral duplaS f(x, y, z) , dS = -5 cdot 1283pi = -6403pi na integral original:

Resposta

-6403pi

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