Suponha que
, onde
é uma função de uma variável, tal que
. Calcule
, onde
é a esfera
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que envolve calcular uma integral de superfície sobre uma esfera. O enunciado fala sobre uma função
, onde
é uma função qualquer que, no ponto 2, vale
. A tarefa é calcular a integral de
sobre a superfície da esfera
definida por
.
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre integrais de superfície e propriedades de esferas. Também vamos usar a simetria da esfera para simplificar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
na superfície da esfera
. Na esfera, a equação
nos diz que a distância de qualquer ponto
até a origem é constante e igual a 2, ou seja,
.
Como
é uma função de uma variável e no ponto 2 ela vale
, substituindo na função
temos:
Passo 3
Agora, precisamos calcular a integral de
sobre a superfície
:
Vamos focar em calcular
.
Passo 4
Na superfície da esfera, sabemos que:
Queremos
, então podemos rearranjar a equação:
Porém, para facilitar a integração, vamos usar a simetria da esfera. Em uma esfera, as integrais de
,
e
sobre a superfície são iguais devido à simetria.
Portanto:
E sabemos que:
Onde
é a área da esfera.
Passo 5
Como as integrais de
,
e
são iguais, podemos dizer:
Portanto:
Da mesma forma:
Então, somando
e
:
Passo 6
Agora, vamos calcular a área da esfera
com raio 2. A fórmula da área de uma esfera é:
Substituindo
:
Passo 7
Voltando à integral de
:
Passo 8
Finalmente, lembrando que temos um fator de
na integral original: