Calcule , onde
e é a semiesfera , com exterior.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de fluxo de um campo vetorial sobre a semiesfera definida por com . Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente a Teorema da Divergência. Vamos precisar entender como aplicar esse teorema para facilitar nosso cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Teorema da Divergência. Esse teorema relaciona a integral de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a integral da divergência desse campo dentro do volume limitado pela superfície. Matemáticamente, é dado por:
Onde:
  • é a superfície fechada.
  • é o vetor normal à superfície apontando para fora.
  • é o volume limitado por .
  • é a divergência de .

Passo 3

No nosso caso, a superfície é apenas a semiesfera superior. Para aplicar a Teorema da Divergência, precisamos que a superfície seja fechada. Então, vamos fechar essa semiesfera adicionando a base, que é o disco no plano . Assim, a superfície fechada será a semiesfera mais o disco .

Passo 4

Agora, vamos calcular a divergência de . A divergência de um campo vetorial é dada por:
Para o nosso campo , temos:

Passo 5

Com a divergência calculada, a integral de volume fica simples:
No caso, é a semiesfera de raio 2 (já que ), então o volume é metade do volume de uma esfera completa:

Passo 6

Agora, aplicando a Teorema da Divergência:
Precisamos isolar a integral que queremos, que é sobre :

Passo 7

Vamos calcular a integral sobre a base . No disco (plano ), o vetor normal aponta para baixo, ou seja, . O campo vetorial nesse plano é . Então:
Isso significa que a integral sobre é zero:

Passo 8

Substituindo na equação anterior:

Resposta

Exercícios relacionados

Determine o momento de inércia em relação ao eixo da superfície , limitada por e , sendo a densidade .
Suponha que , onde é uma função de uma variável, tal que . Calcule , onde é a esfera .
Calcule , onde
e é a união dos planos , com e , com , indicando a orientação escolhida para .
Calcule , onde
e é a superfície plana limitada pelo triângulo de vértices , e , com tendo a componente não negativa.