Calcule integral duplaS F cdot n d S, onde
F(x, y, z)=(x, y,-z) e S é a semiesfera x^2+y^2+z^2=4, z >= 0, com n exterior.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de fluxo de um campo vetorial F(x, y, z) = (x, y, -z) sobre a semiesfera S definida por x^2+y^2+z^2=4 com z >= 0. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente a Teorema da Divergência. Vamos precisar entender como aplicar esse teorema para facilitar nosso cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Teorema da Divergência. Esse teorema relaciona a integral de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a integral da divergência desse campo dentro do volume limitado pela superfície. Matemáticamente, é dado por:
integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
Onde:
  • S é a superfície fechada.
  • n é o vetor normal à superfície apontando para fora.
  • V é o volume limitado por S.
  • nabla cdot F é a divergência de F.

Passo 3

No nosso caso, a superfície S é apenas a semiesfera superior. Para aplicar a Teorema da Divergência, precisamos que a superfície seja fechada. Então, vamos fechar essa semiesfera adicionando a base, que é o disco D no plano z=0. Assim, a superfície fechada será a semiesfera S mais o disco D.

Passo 4

Agora, vamos calcular a divergência de F. A divergência de um campo vetorial F = (Fx, Fy, Fz) é dada por:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Para o nosso campo F(x, y, z) = (x, y, -z), temos:
nabla cdot F = partial xpartial x + partial ypartial y + partial (-z)partial z = 1 + 1 - 1 = 1

Passo 5

Com a divergência calculada, a integral de volume fica simples:
integral triplaV nabla cdot F , dV = integral triplaV 1 , dV = Volume de V
No caso, V é a semiesfera de raio 2 (já que x^2+y^2+z^2=4), então o volume é metade do volume de uma esfera completa:
Volume = 12 times 43 pi r^3 = 12 times 43 pi (2)^3 = 12 times 323 pi = 163 pi

Passo 6

Agora, aplicando a Teorema da Divergência:
integral duplaS F cdot n , dS + integral duplaD F cdot n , dS = 163 pi
Precisamos isolar a integral que queremos, que é sobre S:
integral duplaS F cdot n , dS = 163 pi - integral duplaD F cdot n , dS

Passo 7

Vamos calcular a integral sobre a base D. No disco D (plano z=0), o vetor normal n aponta para baixo, ou seja, n = (0, 0, -1). O campo vetorial nesse plano é F(x, y, 0) = (x, y, 0). Então:
F cdot n = (x, y, 0) cdot (0, 0, -1) = 0
Isso significa que a integral sobre D é zero:
integral duplaD F cdot n , dS = 0

Passo 8

Substituindo na equação anterior:
integral duplaS F cdot n , dS = 163 pi - 0 = 163 pi

Resposta

integral duplaS F cdot n , dS = 163 pi

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