Calcule
, onde
e
é a semiesfera
, com
exterior.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de fluxo de um campo vetorial
sobre a semiesfera
definida por
com
. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente a Teorema da Divergência. Vamos precisar entender como aplicar esse teorema para facilitar nosso cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Teorema da Divergência. Esse teorema relaciona a integral de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a integral da divergência desse campo dentro do volume limitado pela superfície. Matemáticamente, é dado por:
Onde:
-
é a superfície fechada. -
é o vetor normal à superfície apontando para fora. -
é o volume limitado por . -
é a divergência de .
Passo 3
No nosso caso, a superfície
é apenas a semiesfera superior. Para aplicar a Teorema da Divergência, precisamos que a superfície seja fechada. Então, vamos fechar essa semiesfera adicionando a base, que é o disco
no plano
. Assim, a superfície fechada será a semiesfera
mais o disco
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a divergência de
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
Para o nosso campo
, temos:
Passo 5
Com a divergência calculada, a integral de volume fica simples:
No caso,
é a semiesfera de raio 2 (já que
), então o volume é metade do volume de uma esfera completa:
Passo 6
Agora, aplicando a Teorema da Divergência:
Precisamos isolar a integral que queremos, que é sobre
:
Passo 7
Vamos calcular a integral sobre a base
. No disco
(plano
), o vetor normal
aponta para baixo, ou seja,
. O campo vetorial nesse plano é
. Então:
Isso significa que a integral sobre
é zero:
Passo 8
Substituindo na equação anterior:
Resposta
Exercícios relacionados
Determine o momento de inércia em relação ao eixo
da superfície
, limitada por
e
, sendo a densidade
.
Suponha que
, onde
é uma função de uma variável, tal que
. Calcule
, onde
é a esfera
.
Calcule
, onde
e
é a união dos planos
, com
e
, com
, indicando a orientação escolhida para
.
Calcule
, onde
e
é a superfície plana limitada pelo triângulo de vértices
,
e
, com
tendo a componente
não negativa.