Determine o momento de inércia em relação ao eixo da superfície , limitada por e , sendo a densidade .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar o momento de inércia em relação ao eixo da superfície , limitada por e , com densidade . Vamos usar conceitos de cálculo de momentos de inércia e integração em coordenadas apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície . Podemos reescrever essa equação completando o quadrado para facilitar a visualização:
Isso representa um círculo de raio 1 centrado no ponto no plano .

Passo 3

O próximo passo é identificar os limites de integração. O varia de 0 até . Isso significa que a superfície está limitada pelo plano e pela superfície , que é um cone.

Passo 4

Para facilitar os cálculos, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde:
Nessa coordenada, a equação do círculo fica:
Isso nos dá os limites para e .

Passo 5

O momento de inércia em relação ao eixo é dado por:
No sistema cilíndrico, , e o elemento de área em coordenadas cilíndricas é .

Passo 6

Substituindo na expressão do momento de inércia:
Aqui, ajustamos os limites de de 0 a porque o círculo está centrado em e se estende de a .

Passo 7

Agora, precisamos expressar em termos de . Sabemos que . Então, substituindo:

Passo 8

Vamos integrar em relação a primeiro:
Agora, nossa integral fica:

Passo 9

Para resolver a integral , usamos a fórmula de redução:
Aplicando isso para :
E continuando até resolver completamente, mas sabemos que:

Passo 10

Finalmente, substituindo de volta:

Resposta

O momento de inércia em relação ao eixo é .

Exercícios relacionados

Suponha que , onde é uma função de uma variável, tal que . Calcule , onde é a esfera .
Calcule , onde
e é a união da superfície , com , indicando a orientação escolhida para .
Calcule , onde
e é a semiesfera , com exterior.
Calcule , onde
e é a união dos planos , com e , com , indicando a orientação escolhida para .