Determine o momento de inércia em relação ao eixo
da superfície
, limitada por
e
, sendo a densidade
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar o momento de inércia em relação ao eixo
da superfície
, limitada por
e
, com densidade
. Vamos usar conceitos de cálculo de momentos de inércia e integração em coordenadas apropriadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície
. Podemos reescrever essa equação completando o quadrado para facilitar a visualização:
Isso representa um círculo de raio 1 centrado no ponto
no plano
.
Passo 3
O próximo passo é identificar os limites de integração. O
varia de 0 até
. Isso significa que a superfície está limitada pelo plano
e pela superfície
, que é um cone.
Passo 4
Para facilitar os cálculos, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde:
Nessa coordenada, a equação do círculo fica:
Isso nos dá os limites para
e
.
Passo 5
O momento de inércia
em relação ao eixo
é dado por:
No sistema cilíndrico,
, e o elemento de área
em coordenadas cilíndricas é
.
Passo 6
Substituindo na expressão do momento de inércia:
Aqui, ajustamos os limites de
de 0 a
porque o círculo está centrado em
e se estende de
a
.
Passo 7
Agora, precisamos expressar
em termos de
. Sabemos que
. Então, substituindo:
Passo 8
Vamos integrar em relação a
primeiro:
Agora, nossa integral fica:
Passo 9
Para resolver a integral
, usamos a fórmula de redução:
Aplicando isso para
:
E continuando até resolver completamente, mas sabemos que:
Passo 10
Finalmente, substituindo de volta:
Resposta
O momento de inércia em relação ao eixo
é
.
Exercícios relacionados
Suponha que
, onde
é uma função de uma variável, tal que
. Calcule
, onde
é a esfera
.
Calcule
, onde
e
é a união da superfície
, com
, indicando a orientação escolhida para
.
Calcule
, onde
e
é a semiesfera
, com
exterior.
Calcule
, onde
e
é a união dos planos
, com
e
, com
, indicando a orientação escolhida para
.