Resolva as EDO
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por:
Além disso, temos uma condição inicial:
. Vamos resolver essa EDO passo a passo, usando técnicas de separação de variáveis e integração.
Passo 2
O primeiro passo para resolver essa EDO é tentar separar as variáveis
e
. Vamos reescrever a equação dividindo ambos os lados por
:
Isso nos permite separar os termos de
dos termos de
.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar ambos os lados por
e por
para isolar os termos de integração:
Dessa forma, conseguimos separar as variáveis, facilitando a integração de ambos os lados.
Passo 4
Em seguida, vamos integrar ambos os lados da equação:
Vamos resolver essas integrais separadamente.
Passo 5
Calculando a integral do lado esquerdo:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Calculando a integral do lado direito:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 7
Agora, igualamos as duas expressões integrais:
Podemos combinar as constantes
e
em uma única constante
:
Passo 8
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo
e
na equação:
Passo 9
Com o valor de
encontrado, a solução geral da EDO é:
Essa é a solução da equação diferencial dada, satisfazendo a condição inicial.
Resposta
A solução da EDO é
.
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onde
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c) Usando a definição de limite verifique o seguinte:
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