Encontrar uma função
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo! A gente precisa encontrar uma função
que, quando derivada, somada com o seno de
dá zero. Além disso, sabemos que
. Vamos usar conhecimentos de derivadas e integrais para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação que temos:
Aqui,
representa a derivada de
em relação a
. Nosso objetivo é encontrar
.
Passo 3
Vamos isolar
na equação:
Agora, temos uma derivada igual a uma função conhecida. Para encontrar
, precisamos integrar ambos os lados dessa equação.
Passo 4
Vamos integrar
em relação a
:
A integral da derivada de
nos dá simplesmente
, e a integral de
é
(lembrando que a integral de
é
).
Passo 5
Fazendo as integrações, temos:
Onde
é a constante de integração que precisamos determinar usando a condi��ão inicial
.
Passo 6
Vamos aplicar a condição inicial para encontrar
. Substituindo
na função
:
Sabemos que
, então:
Passo 7
Resolvendo para
:
Resposta
A função que satisfaz as condições dadas é:
Exercícios relacionados
k)
Calcule
, onde:
e
é a união das superfícies
e
, indicando a orientação escolhida para
.
Determine a solução do problema de valor inicial