Encontrar uma função tal que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo! A gente precisa encontrar uma função que, quando derivada, somada com o seno de dá zero. Além disso, sabemos que . Vamos usar conhecimentos de derivadas e integrais para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação que temos:
Aqui, representa a derivada de em relação a . Nosso objetivo é encontrar .

Passo 3

Vamos isolar na equação:
Agora, temos uma derivada igual a uma função conhecida. Para encontrar , precisamos integrar ambos os lados dessa equação.

Passo 4

Vamos integrar em relação a :
A integral da derivada de nos dá simplesmente , e a integral de é (lembrando que a integral de é ).

Passo 5

Fazendo as integrações, temos:
Onde é a constante de integração que precisamos determinar usando a condi��ão inicial .

Passo 6

Vamos aplicar a condição inicial para encontrar . Substituindo na função :
Sabemos que , então:

Passo 7

Resolvendo para :

Resposta

A função que satisfaz as condições dadas é:

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k)
Calcule , onde: e é a união das superfícies e , indicando a orientação escolhida para .
Determine a solução do problema de valor inicial