Calcule
:
é a parte da esfera
fora do cilindro
com
apontando para fora.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de superfície
, onde o campo vetorial
. A superfície
é a parte da esfera
que está fora do cilindro
, e o vetor normal
aponta para fora da esfera.
Vamos precisar usar o Teorema da Divergência, que nos ajuda a transformar uma integral de superfície em uma integral de volume, facilitando os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o Teorema da Divergência, que diz:
Ou seja, a integral de superfície do campo
sobre
é igual à integral de volume da divergência de
no volume
limitado por
.
Passo 3
Vamos calcular a divergência do campo
.
A divergência
é dada por:
Como
só tem componente na direção
, as derivadas parciais em
e
são zero, e a derivada parcial de
em relação a
também é zero.
Passo 4
Com a divergência sendo zero, a integral de volume também será zero:
Portanto, de acordo com o Teorema da Divergência, a integral de superfície também será zero.
Resposta
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Determine os vetores tangente e normal unitários
e
e encontre a curvatura.
(b)
(b)
Determine o comprimento da curva dada.
(a)
(a)
Determine a solução dos seguintes problemas de valor inicial.
e
Usando o método dos coeficientes indeterminados determine uma solução particular para as seguintes equações diferenciais. Determine a solução geral.