Calcule integral duplaS v cdot d S :
v(x, y, z)=-y z i e S é a parte da esfera x^2+y^2+z^2=4 fora do cilindro x^2+y^2=1 com n apontando para fora.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de superfície , onde o campo vetorial . A superfície é a parte da esfera que está fora do cilindro , e o vetor normal aponta para fora da esfera.
Vamos precisar usar o Teorema da Divergência, que nos ajuda a transformar uma integral de superfície em uma integral de volume, facilitando os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o Teorema da Divergência, que diz:
integral duplaS v cdot dS = integral triplaV nabla cdot v, dV
Ou seja, a integral de superfície do campo sobre é igual à integral de volume da divergência de no volume limitado por .

Passo 3

Vamos calcular a divergência do campo nabla cdot v = partial (-yz)partial x + partial (0)partial y + partial (0)partial z = 0 .
A divergência é dada por:
Como só tem componente na direção , as derivadas parciais em e são zero, e a derivada parcial de em relação a também é zero.

Passo 4

Com a divergência sendo zero, a integral de volume também será zero:
integral triplaV nabla cdot v, dV = integral triplaV 0, dV = 0
Portanto, de acordo com o Teorema da Divergência, a integral de superfície também será zero.

Resposta

integral duplaS v cdot d S = 0

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