Determine o comprimento da curva dada.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, então a gente tem que determinar o comprimento da curva definida pela função vetorial
no intervalo de
entre -10 e 10. Isso faz parte de Cálculo, mais especificamente do estudo de comprimento de curvas parametrizadas. Pra resolver isso, a gente vai precisar calcular a derivada de
, encontrar a norma dessa derivada e então integrar essa norma no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada da função vetorial
. A derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a norma da derivada
, que representa a velocidade instantânea da curva:
Perceba que
, então:
Portanto:
Passo 4
Como a norma da derivada é constante (
), o comprimento da curva é simplesmente essa constante multiplicada pelo intervalo de
:
Resposta
O comprimento da curva é
unidades.
Exercícios relacionados
Determine os vetores tangente e normal unitários
e
e encontre a curvatura.
(a)
(a)
Calcule os limites.
(d)
(d)
Determine os vetores tangente e normal unitários
e
e encontre a curvatura.
(b)
(b)
Calcule
:
é a parte da esfera
fora do cilindro
com
apontando para fora.