Determine o comprimento da curva dada.
(a) r(t) = < 2 sen(t), 5 t, 2 cos(t) >, -10 <= t <= 10

Passo 1

Beleza, então a gente tem que determinar o comprimento da curva definida pela função vetorial no intervalo de entre -10 e 10. Isso faz parte de Cálculo, mais especificamente do estudo de comprimento de curvas parametrizadas. Pra resolver isso, a gente vai precisar calcular a derivada de , encontrar a norma dessa derivada e então integrar essa norma no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada da função vetorial . A derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a norma da derivada , que representa a velocidade instantânea da curva:
Perceba que , então:
Portanto:

Passo 4

Como a norma da derivada é constante ( ), o comprimento da curva é simplesmente essa constante multiplicada pelo intervalo de :

Resposta

O comprimento da curva é unidades.

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