Determine a solução dos seguintes problemas de valor inicial.
e

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. A gente vai trabalhar com uma equação diferencial de segunda ordem e precisar usar algumas técnicas de resolução, como encontrar a solução geral e aplicar as condições iniciais para achar os valores das constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação diferencial que temos:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. O objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação e também atende às condições iniciais dadas: e .

Passo 3

Para resolver essa equação, começamos encontrando a solução geral da equação homogênea associada:
A gente assume uma solução do tipo , onde é uma constante que precisamos determinar. Substituindo na equação, temos:
Dividindo por (que nunca é zero), obtemos a equação característica:

Passo 4

Agora, resolvemos a equação característica:
Fatorando, temos:
Portanto, as raízes são e .

Passo 5

Com as raízes da equação característica, a solução geral da equação diferencial é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 6

Vamos aplicar a primeira condição inicial :
Essa é a nossa primeira equação para encontrar e .

Passo 7

Agora, vamos encontrar a derivada da solução geral para aplicar a segunda condição inicial. A derivada de é:
Aplicando a condição :
Simplificando:

Passo 8

Agora, substituímos na primeira equação:
Então:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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Calcule :
é a parte da esfera fora do cilindro com apontando para fora.
Determine os vetores tangente e normal unitários e e encontre a curvatura.
(b)
Usando o método dos coeficientes indeterminados determine uma solução particular para as seguintes equações diferenciais. Determine a solução geral.
Determine os pontos críticos das seguintes funções: