Determine a solução dos seguintes problemas de valor inicial.
e
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. A gente vai trabalhar com uma equação diferencial de segunda ordem e precisar usar algumas técnicas de resolução, como encontrar a solução geral e aplicar as condições iniciais para achar os valores das constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação diferencial que temos:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. O objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa equação e também atende às condições iniciais dadas:
e
.
Passo 3
Para resolver essa equação, começamos encontrando a solução geral da equação homogênea associada:
A gente assume uma solução do tipo
, onde
é uma constante que precisamos determinar. Substituindo na equação, temos:
Dividindo por
(que nunca é zero), obtemos a equação característica:
Passo 4
Agora, resolvemos a equação característica:
Fatorando, temos:
Portanto, as raízes são
e
.
Passo 5
Com as raízes da equação característica, a solução geral da equação diferencial é:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 6
Vamos aplicar a primeira condição inicial
:
Essa é a nossa primeira equação para encontrar
e
.
Passo 7
Agora, vamos encontrar a derivada da solução geral para aplicar a segunda condição inicial. A derivada de
é:
Aplicando a condição
:
Simplificando:
Passo 8
Agora, substituímos
na primeira equação:
Então:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
Exercícios relacionados
Calcule
:
é a parte da esfera
fora do cilindro
com
apontando para fora.
Determine os vetores tangente e normal unitários
e
e encontre a curvatura.
(b)
(b)
Usando o método dos coeficientes indeterminados determine uma solução particular para as seguintes equações diferenciais. Determine a solução geral.
Determine os pontos críticos das seguintes funções: