Determine os vetores tangente e normal unitários e e encontre a curvatura.
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício onde a gente precisa encontrar os vetores tangente unitário , normal unitário e a curvatura da curva dada por para .

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da posição , que é a velocidade . Isso nos ajuda a achar o vetor tangente.

Passo 3

Agora, calculamos o módulo de para normalizar e obter o vetor tangente unitário .
Porque .

Passo 4

Agora, o vetor tangente unitário é:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a derivada de para achar o vetor normal. Derivando cada componente de :

Passo 6

Calculamos o módulo de para normalizar e obter o vetor normal unitário .

Passo 7

Então, o vetor normal unitário é:

Passo 8

Por último, vamos calcular a curvatura . A fórmula da curvatura é:
Primeiro, achamos :

Passo 9

Calculamos o produto vetorial :
Simplificando:

Passo 10

Calculamos o módulo desse produto vetorial:
Note que
Então,

Passo 11

Finalmente, a curvatura é:

Resposta

Os vetores tangente e normal unitários são:
E a curvatura é:

Exercícios relacionados

Determine o comprimento da curva dada.
(a)
Determine os vetores tangente e normal unitários e e encontre a curvatura.
(a)
Calcule :
é a parte da esfera fora do cilindro com apontando para fora.
Determine a solução dos seguintes problemas de valor inicial.
e