Determine os vetores tangente e normal unitários T(t) e N(t) e encontre a curvatura.
(b) r(t) = < t^2, sen(t) - t cos(t), cos(t) + t sen(t) >, t > 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício onde a gente precisa encontrar os vetores tangente unitário T(t), normal unitário N(t) e a curvatura da curva dada por para .

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da posição r(t), que é a velocidade . Isso nos ajuda a achar o vetor tangente.

Passo 3

Agora, calculamos o módulo de para normalizar e obter o vetor tangente unitário T(t).
Porque .

Passo 4

Agora, o vetor tangente unitário é:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a derivada de T(t) para achar o vetor normal. Derivando cada componente de T(t):

Passo 6

Calculamos o módulo de para normalizar e obter o vetor normal unitário N(t).

Passo 7

Então, o vetor normal unitário é:

Passo 8

Por último, vamos calcular a curvatura kappa(t). A fórmula da curvatura é:
Primeiro, achamos :

Passo 9

Calculamos o produto vetorial :
Simplificando:

Passo 10

Calculamos o módulo desse produto vetorial:
Note que
Então,

Passo 11

Finalmente, a curvatura é:

Resposta

Os vetores tangente e normal unitários são:
E a curvatura é:

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