Determine os vetores tangente e normal unitários
e
e encontre a curvatura.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício onde a gente precisa encontrar os vetores tangente unitário
, normal unitário
e a curvatura da curva dada por para
.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da posição
, que é a velocidade
. Isso nos ajuda a achar o vetor tangente.
Passo 3
Agora, calculamos o módulo de
para normalizar e obter o vetor tangente unitário
.
Porque .
Passo 4
Agora, o vetor tangente unitário é:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a derivada de
para achar o vetor normal. Derivando cada componente de
:
Passo 6
Calculamos o módulo de
para normalizar e obter o vetor normal unitário
.
Passo 7
Então, o vetor normal unitário é:
Passo 8
Por último, vamos calcular a curvatura
. A fórmula da curvatura é:
Primeiro, achamos
:
Passo 9
Calculamos o produto vetorial
:
Simplificando:
Passo 10
Calculamos o módulo desse produto vetorial:
Note que
Então,
Passo 11
Finalmente, a curvatura é:
Resposta
Os vetores tangente e normal unitários são:
E a curvatura é:
Exercícios relacionados
Determine o comprimento da curva dada.
(a)
(a)
Determine os vetores tangente e normal unitários
e
e encontre a curvatura.
(a)
(a)
Calcule
:
é a parte da esfera
fora do cilindro
com
apontando para fora.
Determine a solução dos seguintes problemas de valor inicial.
e