Usando o método dos coeficientes indeterminados determine uma solução particular para as seguintes equações diferenciais. Determine a solução geral.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente resolver a equação diferencial
usando o método dos coeficientes indeterminados. Isso faz parte da matéria de equações diferenciais, mais especificamente na busca por soluções particulares e gerais. Vamos precisar entender como aplicar esse método para encontrar uma solução que satisfaça a equação.
Passo 2
Primeiro, a gente resolve a equação homogênea associada, que é
. Para isso, encontramos a equação característica:
. Resolvendo essa equação quadrática, temos as raízes
. Isso significa que a solução geral da homogênea será
.
Passo 3
Agora, vamos procurar uma solução particular
para a equação completa. Como o lado direito é
, e essa forma já aparece na solução homogênea, precisamos multiplicar nossa tentativa por
para evitar duplicação. Então, vamos tentar uma solução da forma:
onde
e
são coeficientes que vamos determinar.
Passo 4
Vamos derivar
para substituir na equação original. Primeiro, a primeira derivada:
E a segunda derivada:
Passo 5
Substituindo
,
e
na equação original
, e agrupando os termos, obtemos uma equação onde os coeficientes de
e
devem igualar-se aos do lado direito. Isso resulta em um sistema de equações para
e
:
Resolvendo esse sistema, encontramos
e
.
Passo 6
Com esses valores, a solução particular fica:
Podemos simplificar para:
Passo 7
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Determine a solução dos seguintes problemas de valor inicial.
e
Calcule
:
é a parte da esfera
fora do cilindro
com
apontando para fora.
Determine os pontos críticos das seguintes funções:
Converta as coordenadas
de esféricas para cilíndricas.