Usando o método dos coeficientes indeterminados determine uma solução particular para as seguintes equações diferenciais. Determine a solução geral.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente resolver a equação diferencial usando o método dos coeficientes indeterminados. Isso faz parte da matéria de equações diferenciais, mais especificamente na busca por soluções particulares e gerais. Vamos precisar entender como aplicar esse método para encontrar uma solução que satisfaça a equação.

Passo 2

Primeiro, a gente resolve a equação homogênea associada, que é . Para isso, encontramos a equação característica: . Resolvendo essa equação quadrática, temos as raízes . Isso significa que a solução geral da homogênea será .

Passo 3

Agora, vamos procurar uma solução particular para a equação completa. Como o lado direito é , e essa forma já aparece na solução homogênea, precisamos multiplicar nossa tentativa por para evitar duplicação. Então, vamos tentar uma solução da forma:
onde e são coeficientes que vamos determinar.

Passo 4

Vamos derivar para substituir na equação original. Primeiro, a primeira derivada:
E a segunda derivada:

Passo 5

Substituindo , e na equação original , e agrupando os termos, obtemos uma equação onde os coeficientes de e devem igualar-se aos do lado direito. Isso resulta em um sistema de equações para e :
Resolvendo esse sistema, encontramos e .

Passo 6

Com esses valores, a solução particular fica:
Podemos simplificar para:

Passo 7

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Determine a solução dos seguintes problemas de valor inicial.
e
Calcule :
é a parte da esfera fora do cilindro com apontando para fora.
Determine os pontos críticos das seguintes funções:
Converta as coordenadas de esféricas para cilíndricas.