Calcule integral duplaS F cdot n nos seguintes casos:
F(x, y, z)=(x, x y, x z) e S é a parte do plano 3 x+2 y+z=6 interior ao cilindro x^2+y^2=1, orientada de modo que n cdot k>0.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. Temos um campo vetorial F(x, y, z) = (x, xy, xz) e uma superfície S que é a parte do plano 3x + 2y + z = 6 que está dentro do cilindro x^2 + y^2 = 1. Queremos calcular a integral de fluxo integral duplaS F cdot n, onde n é o vetor normal à superfície orientado de forma que n cdot k > 0 (ou seja, aponta para cima). Para isso, vamos precisar entender conceitos de campos vetoriais, vetores normais e integrais de superfície.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o vetor normal n à superfície S. Como S está no plano 3x + 2y + z = 6, o vetor normal ao plano pode ser obtido a partir dos coeficientes das variáveis na equação do plano. Então, temos:
n = (3, 2, 1)
Agora, como queremos que n cdot k > 0, e k = (0, 0, 1), já está satisfeito porque 1 > 0. Então, podemos usar esse vetor normal direto para a integração.

Passo 3

A próxima etapa é parametrizar a superfície S. Observamos que S está dentro do cilindro x^2 + y^2 = 1, que é um círculo de raio 1 no plano xy. Podemos usar coordenadas polares para facilitar a integração. Então, fazemos a substituição:
x = r cos theta y = r sin theta
Com r variando de 0 a 1 e theta variando de 0 a 2pi.

Passo 4

Precisamos expressar z em termos de x e y usando a equação do plano:
3x + 2y + z = 6 Rightarrow z = 6 - 3x - 2y Rightarrow z = 6 - 3r cos theta - 2r sin theta
Agora, temos a parametrização completa da superfície S em coordenadas polares.

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de fluxo:
integral duplaS F cdot n , dS
Primeiro, encontramos F cdot n:
F = (x, xy, xz) n = (3, 2, 1) F cdot n = 3x + 2xy + xz
Substituindo z da parametrização:
F cdot n = 3x + 2xy + x(6 - 3x - 2y) = 3x + 2xy + 6x - 3x^2 - 2xy = 9x - 3x^2
Agora, calculamos o elemento de área dS. No caso de um plano, dS = |n||n cdot k| , dA, onde dA é a área no plano xy. Aqui, n cdot k = 1, então:
dS = |n| , dA |n| = raiz3^2 + 2^2 + 1^2 = raiz14 dS = raiz14 , r , dr , dtheta
Agora, a integral fica:
integral duplaS (9x - 3x^2) raiz14 , r , dr , dtheta
Substituindo x = r cos theta:
= raiz14 integral0^2pi integral0^1 (9r cos theta - 3r^2 cos^2 theta) r , dr , dtheta = raiz14 integral0^2pi integral0^1 (9r^2 cos theta - 3r^3 cos^2 theta) , dr , dtheta

Passo 6

Vamos resolver as integrais em r e theta separadamente.
Primeiro, a integral em r:
integral0^1 9r^2 cos theta , dr = 9 cos theta [ r^33 ]0^1 = 3 cos theta
integral0^1 -3r^3 cos^2 theta , dr = -3 cos^2 theta [ r^44 ]0^1 = -34 cos^2 theta
Agora, a integral completa:
raiz14 integral0^2pi ( 3 cos theta - 34 cos^2 theta ) dtheta
Integrando em theta:
integral0^2pi 3 cos theta , dtheta = 0 (porque a integral de $cos theta$ de $0$ a $2pi$ é zero) integral0^2pi -34 cos^2 theta , dtheta = -34 cdot pi (usando a identidade $cos^2 theta = 1 + cos 2theta2$) é

Resposta

Finalmente, juntando tudo:
integral duplaS F cdot n , dS = raiz14 cdot ( 0 - 34 pi ) = -3pi raiz144
Portanto, o valor da integral de fluxo é -dfrac3pi raiz144.

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