Calcule
nos seguintes casos:
e
é a parte do plano
interior ao cilindro
, orientada de modo que
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. Temos um campo vetorial
e uma superfície
que é a parte do plano
que está dentro do cilindro
. Queremos calcular a integral de fluxo
, onde
é o vetor normal à superfície orientado de forma que
(ou seja, aponta para cima). Para isso, vamos precisar entender conceitos de campos vetoriais, vetores normais e integrais de superfície.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o vetor normal
à superfície
. Como
está no plano
, o vetor normal ao plano pode ser obtido a partir dos coeficientes das variáveis na equação do plano. Então, temos:
Agora, como queremos que
, e
, já está satisfeito porque
. Então, podemos usar esse vetor normal direto para a integração.
Passo 3
A próxima etapa é parametrizar a superfície
. Observamos que
está dentro do cilindro
, que é um círculo de raio 1 no plano
. Podemos usar coordenadas polares para facilitar a integração. Então, fazemos a substituição:
Com
variando de
a
e
variando de
a
.
Passo 4
Precisamos expressar
em termos de
e
usando a equação do plano:
Agora, temos a parametrização completa da superfície
em coordenadas polares.
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral de fluxo:
Primeiro, encontramos
:
Substituindo
da parametrização:
Agora, calculamos o elemento de área
. No caso de um plano,
, onde
é a área no plano
. Aqui,
, então:
Agora, a integral fica:
Substituindo
:
Passo 6
Vamos resolver as integrais em
e
separadamente.
Primeiro, a integral em
:
Agora, a integral completa:
Integrando em
:
Resposta
Finalmente, juntando tudo:
Portanto, o valor da integral de fluxo é
.