Verifique se os campos a seguir são conservativos:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se o campo vetorial
é conservativo. Isso envolve entender o que significa um campo vetorial ser conservativo e como podemos testar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial conservativo. Um campo é conservativo se ele pode ser representado como o gradiente de alguma função escalar
. Em outras palavras, existe uma função
tal que
. Campos conservativos têm a propriedade de que o trabalho realizado ao mover de um ponto a outro é independente do caminho seguido.
Passo 3
Uma maneira prática de verificar se um campo vetorial é conservativo é calcular o seu rotacional (também conhecido como “curl”). Se o rotacional do campo for igual a zero em toda parte, então o campo é conservativo (desde que o domínio seja simplesmente conexo). A fórmula para o rotacional de
é:
Passo 4
Vamos calcular o rotacional de
:
-
Primeira componente:
-
Segunda componente:
-
Terceira componente:
Então, o rotacional de
é:
Passo 5
Agora, vamos analisar o resultado obtido. Para que o campo seja conservativo, todas as componentes do rotacional devem ser iguais a zero para todos os valores de
,
e
. Observamos que:
- A primeira componente
só é zero se ou . - A segunda componente
só é zero se ou . - A terceira componente já é zero.
Como essas condições não são satisfeitas para todos os pontos
no espaço, o rotacional não é nulo em geral.
Resposta
O campo
não é conservativo.
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Explique se as sequências abaixo são limitadas inferiomente e/ou superiormente, e conclua se elas são ou não limitadas.
Calcule
se
e
é a superficie superior da esfera
.
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, em que
.
Prove as relações:
;