Verifique se os campos a seguir são conservativos:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se o campo vetorial é conservativo. Isso envolve entender o que significa um campo vetorial ser conservativo e como podemos testar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial conservativo. Um campo é conservativo se ele pode ser representado como o gradiente de alguma função escalar . Em outras palavras, existe uma função tal que . Campos conservativos têm a propriedade de que o trabalho realizado ao mover de um ponto a outro é independente do caminho seguido.

Passo 3

Uma maneira prática de verificar se um campo vetorial é conservativo é calcular o seu rotacional (também conhecido como “curl”). Se o rotacional do campo for igual a zero em toda parte, então o campo é conservativo (desde que o domínio seja simplesmente conexo). A fórmula para o rotacional de é:

Passo 4

Vamos calcular o rotacional de :
  1. Primeira componente:
  2. Segunda componente:
  3. Terceira componente:
Então, o rotacional de é:

Passo 5

Agora, vamos analisar o resultado obtido. Para que o campo seja conservativo, todas as componentes do rotacional devem ser iguais a zero para todos os valores de , e . Observamos que:
  • A primeira componente só é zero se ou .
  • A segunda componente só é zero se ou .
  • A terceira componente já é zero.
Como essas condições não são satisfeitas para todos os pontos no espaço, o rotacional não é nulo em geral.

Resposta

O campo não é conservativo.

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, em que .
Prove as relações:
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