Calcule integral duplaS F cdot d S, onde F(x, y, z)=4 x^3 z i+4 y^3 z j+z^4 k e S é a esfera de centro na origem e raio 1 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície integral duplaS F cdot d S, onde o campo vetorial F(x, y, z) = 4x^3z i + 4y^3z j + z^4 k e S é uma esfera de raio 1, centrada na origem. Para isso, vamos utilizar o Teorema da Divergência, que relaciona integrais de superfície com integrais de volume. Vamos precisar conhecer o cálculo de divergentes e como aplicar esse teorema na prática.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele nos diz que para um campo vetorial F e um volume V limitado pela superfície S,
integral duplaS F cdot dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
Ou seja, a integral de superfície do campo F sobre S é igual à integral de volume do divergente de F sobre V.

Passo 3

Vamos calcular o divergente de F, que é dado por:
nabla cdot F = partialpartial x(4x^3z) + partialpartial y(4y^3z) + partialpartial z(z^4)
Calculando cada derivada:
partialpartial x(4x^3z) = 12x^2z
partialpartial y(4y^3z) = 12y^2z
partialpartial z(z^4) = 4z^3
Então,
nabla cdot F = 12x^2z + 12y^2z + 4z^3

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral de volume integral triplaV (12x^2z + 12y^2z + 4z^3) , dV, onde V é a esfera de raio 1. Devido à simetria da esfera, é conveniente usar coordenadas esféricas para simplificar a integral.
Nas coordenadas esféricas, temos:
x = rho sinphi costheta
y = rho sinphi sintheta
z = rho cosphi
dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Como a esfera tem raio 1, os limites são rho de 0 a 1, phi de 0 a pi e theta de 0 a 2pi.

Passo 5

Vamos reescrever o divergente em coordenadas esféricas:
nabla cdot F = 12x^2z + 12y^2z + 4z^3
Substituindo x, y e z:
= 12(rho sinphi costheta)^2 (rho cosphi) + 12(rho sinphi sintheta)^2 (rho cosphi) + 4(rho cosphi)^3
= 12rho^2 sin^2phi cos^2theta cdot rho cosphi + 12rho^2 sin^2phi sin^2theta cdot rho cosphi + 4rho^3 cos^3phi
= 12rho^3 sin^2phi cos^2theta cosphi + 12rho^3 sin^2phi sin^2theta cosphi + 4rho^3 cos^3phi
= rho^3 cosphi (12 sin^2phi (cos^2theta + sin^2theta) + 4 cos^2phi)
= rho^3 cosphi (12 sin^2phi cdot 1 + 4 cos^2phi)
= rho^3 cosphi (12 sin^2phi + 4 cos^2phi)

Passo 6

Simplificando:
= rho^3 cosphi (12 sin^2phi + 4 cos^2phi)
= rho^3 cosphi (4(3 sin^2phi + cos^2phi))
= 4rho^3 cosphi (3 sin^2phi + cos^2phi)
Agora, a integral de volume fica:
integral triplaV nabla cdot F , dV = 4 integral0^1 integral0^pi integral0^2pi rho^3 cosphi (3 sin^2phi + cos^2phi) rho^2 sinphi , dtheta , dphi , drho
= 4 integral0^1 rho^5 , drho integral0^pi cosphi (3 sin^2phi + cos^2phi) sinphi , dphi integral0^2pi , dtheta

Passo 7

Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeiro, a integral em theta:
integral0^2pi , dtheta = 2pi
Segundo, a integral em rho:
integral0^1 rho^5 , drho = [ rho^66 ]0^1 = 16
Terceiro, a integral em phi:
integral0^pi cosphi (3 sin^2phi + cos^2phi) sinphi , dphi
Vamos fazer a substituição u = sinphi, então du = cosphi , dphi.
Quando phi = 0, u = 0; quando phi = pi, u = 0.
A integral torna-se:
integral0^0 (3u^2 + (1 - u^2)) u , du = 0
Isso acontece porque os limites são de 0 a 0, resultando em zero.

Passo 8

Voltando à integral total:
4 cdot 16 cdot 0 cdot 2pi = 0

Resposta

A integral de superfície integral duplaS F cdot d S vale 0.

Exercícios relacionados

Esboce as curvas de nível e o gráfico da função dada.
f(x, y) = x^2 - y
Suponha uma haste de comprimento L = 10 cm. Resolva a equação do calor sujeita às condições:
u(0, t) = 0, u(10, t) = 0, u(x, 0) = x(10 - x)
Em seguida, faça os gráficos:
  • Um gráfico variando x e mantendo fixo t = 0, t = 10, t = 100 e t = 200 (todos sobrepostos) e
  • Um gráfico variando o tempo t e mantendo fixo x = 0, x = 2, x = 4 e x = 5 (todos sobrepostos)
O potencial elétrico V no ponto (x, y, z) é dado por
V = 6 / ( (x^2 + 4y^2 + 9z^2)^(1/2) )
Ache a equação da superfície equipotencial V=120.
Determine a temperatura de estado estacionário para uma chapa retangular com as condições de contorno dadas:
u_x(0, y) = 0, u_x(pi, y) = 0, u(x, 0) = x, u(x, 2pi) = 0
Em seguida, faça os gráficos:
  • Um gráfico variando x e mantendo fixo y = 0, y = pi/2 e y = pi (todos sobrepostos) e
  • Um gráfico variando o tempo t e mantendo fixo x = 0, x = pi/2 e x = pi (todos sobrepostos)