Calcule
, onde
e
é a esfera de centro na origem e raio 1 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície
, onde o campo vetorial
e
é uma esfera de raio 1, centrada na origem. Para isso, vamos utilizar o Teorema da Divergência, que relaciona integrais de superfície com integrais de volume. Vamos precisar conhecer o cálculo de divergentes e como aplicar esse teorema na prática.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele nos diz que para um campo vetorial
e um volume
limitado pela superfície
,
Ou seja, a integral de superfície do campo
sobre
é igual à integral de volume do divergente de
sobre
.
Passo 3
Vamos calcular o divergente de
, que é dado por:
Calculando cada derivada:
Então,
Passo 4
Agora, precisamos calcular a integral de volume
, onde
é a esfera de raio 1. Devido à simetria da esfera, é conveniente usar coordenadas esféricas para simplificar a integral.
Nas coordenadas esféricas, temos:
Como a esfera tem raio 1, os limites são
de 0 a 1,
de 0 a
e
de 0 a
.
Passo 5
Vamos reescrever o divergente em coordenadas esféricas:
Substituindo
,
e
:
Passo 6
Simplificando:
Agora, a integral de volume fica:
Passo 7
Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeiro, a integral em
:
Segundo, a integral em
:
Terceiro, a integral em
:
Vamos fazer a substituição
, então
.
Quando
,
; quando
,
.
A integral torna-se:
Isso acontece porque os limites são de 0 a 0, resultando em zero.
Passo 8
Voltando à integral total:
Resposta
A integral de superfície
vale 0.
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