Determine a temperatura de estado estacionário para uma chapa retangular com as condições de contorno dadas:
Em seguida, faça os gráficos:
- Um gráfico variando
e mantendo fixo
e
(todos sobrepostos) e
- Um gráfico variando o tempo
e mantendo fixo
e
(todos sobrepostos)
Passo 1
Entendendo o problema
Estamos querendo encontrar a temperatura em estado estacionário de uma chapa retangular. Isso significa que a temperatura na placa não está mudando com o tempo. As condições de contorno que temos são:
- Derivada da temperatura em relação a
nas bordas e é zero: - A temperatura no fundo da chapa (
) varia com e é igual a : - A temperatura na parte superior da chapa (
) é zero:
Para resolver esse problema, vamos usar a equação de Laplace, que descreve o estado estacionário da temperatura.
Passo 2
Aplicando a Equação de Laplace
A equação de Laplace para estado estacionário em duas dimensões é:
Essa equação nos diz como a temperatura
se comporta na placa.
Passo 3
Separando as Variáveis
Assumimos que a solução pode ser escrita como um produto de funções de
e
:
Substituindo na equação de Laplace:
Dividindo ambos os lados por
:
Isso implica que cada termo deve ser igual a uma constante negativa, digamos
.
Passo 4
Obtendo as Equações Separadas
Temos duas equações diferenciais:
Devemos resolver essas equações com as condições de contorno dadas.
Passo 5
Resolvendo para
As condições de contorno para
são:
A solução geral para
depende do valor de
. Para soluções não triviais, escolhemos:
Então, a solução para
é:
onde
é uma constante.
Passo 6
Resolvendo para
Com
, a equação para
fica:
A solução geral para
é:
Onde
e
são constantes.
Passo 7
Aplicando as Condições de Contorno em
Temos:
Substituindo
:
Resolvendo para
:
Portanto, a solução para
fica:
Passo 8
Expressando a Solução Geral
A solução geral para
é a soma de todas as modos:
Substituindo
:
Passo 9
Determinação dos Coeficientes
Para encontrar
, usamos a condição de contorno
:
Isso é uma série de Fourier para a função
, e os coeficientes
podem ser determinados através da integral de Fourier.
Passo 10
Expressão Final da Temperatura
Após calcular os coeficientes
, a solução da temperatura em estado estacionário é:
Resposta
A temperatura em estado estacionário para a chapa retangular, considerando as condições de contorno dadas, é dada pela série:
onde os coeficientes
são determinados a partir da expansão em série de Fourier da condição de contorno
. Além disso, os gráficos solicitados representam a distribuição da temperatura ao longo de
para diferentes valores de
, e a variação temporal da temperatura para pontos fixos de
.
Exercícios relacionados
O potencial elétrico
no ponto
é dado por
Ache a equação da superfície equipotencial
.
Calcule
, onde
e
é a esfera de centro na origem e raio 1 .
Resolva a equação do calor
sujeita às condições: