Determine a temperatura de estado estacionário para uma chapa retangular com as condições de contorno dadas:
u_x(0, y) = 0, u_x(pi, y) = 0, u(x, 0) = x, u(x, 2pi) = 0
Em seguida, faça os gráficos:
  • Um gráfico variando x e mantendo fixo y = 0, y = pi/2 e y = pi (todos sobrepostos) e
  • Um gráfico variando o tempo t e mantendo fixo x = 0, x = pi/2 e x = pi (todos sobrepostos)

Passo 1

Entendendo o problema
Estamos querendo encontrar a temperatura em estado estacionário de uma chapa retangular. Isso significa que a temperatura na placa não está mudando com o tempo. As condições de contorno que temos são:
  • Derivada da temperatura em relação a nas bordas e é zero:
  • A temperatura no fundo da chapa ( ) varia com e é igual a :
  • A temperatura na parte superior da chapa ( ) é zero:
Para resolver esse problema, vamos usar a equação de Laplace, que descreve o estado estacionário da temperatura.

Passo 2

Aplicando a Equação de Laplace
A equação de Laplace para estado estacionário em duas dimensões é:
Essa equação nos diz como a temperatura se comporta na placa.

Passo 3

Separando as Variáveis
Assumimos que a solução pode ser escrita como um produto de funções de e :
Substituindo na equação de Laplace:
Dividindo ambos os lados por :
Isso implica que cada termo deve ser igual a uma constante negativa, digamos .

Passo 4

Obtendo as Equações Separadas
Temos duas equações diferenciais:
Devemos resolver essas equações com as condições de contorno dadas.

Passo 5

Resolvendo para
As condições de contorno para são:
A solução geral para depende do valor de . Para soluções não triviais, escolhemos:
Então, a solução para é:
onde é uma constante.

Passo 6

Resolvendo para
Com , a equação para fica:
A solução geral para é:
Onde e são constantes.

Passo 7

Aplicando as Condições de Contorno em
Temos:
Substituindo :
Resolvendo para :
Portanto, a solução para fica:

Passo 8

Expressando a Solução Geral
A solução geral para é a soma de todas as modos:
Substituindo :

Passo 9

Determinação dos Coeficientes
Para encontrar , usamos a condição de contorno :
Isso é uma série de Fourier para a função , e os coeficientes podem ser determinados através da integral de Fourier.

Passo 10

Expressão Final da Temperatura
Após calcular os coeficientes , a solução da temperatura em estado estacionário é:

Resposta

A temperatura em estado estacionário para a chapa retangular, considerando as condições de contorno dadas, é dada pela série:
onde os coeficientes são determinados a partir da expansão em série de Fourier da condição de contorno . Além disso, os gráficos solicitados representam a distribuição da temperatura ao longo de para diferentes valores de , e a variação temporal da temperatura para pontos fixos de .

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