Suponha uma haste de comprimento
. Resolva a equação do calor sujeita às condições:
Em seguida, faça os gráficos:
- Um gráfico variando
e mantendo fixo
(todos sobrepostos) e
- Um gráfico variando o tempo
e mantendo fixo
e
(todos sobrepostos)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma haste de 10 cm e precisa resolver a equação do calor com algumas condições específicas. A matéria que vamos usar aqui é equação diferencial parcial, especificamente a equação do calor. Vamos precisar usar métodos de separação de variáveis e séries de Fourier para encontrar a solução. Além disso, no final vamos fazer uns gráficos para visualizar como a temperatura varia ao longo da haste e do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação do calor que estamos lidando. A equação é dada por:
Aqui,
representa a temperatura na posição
e no tempo
, e
é a difusividade térmica da haste. Para simplificar, vamos assumir que
.
Passo 3
As condições de contorno que temos são:
Isso significa que as extremidades da haste estão mantidas a 0°C para todo o tempo
. Além disso, temos a condição inicial:
Essa é a distribuição de temperatura na haste no tempo inicial,
.
Passo 4
Vamos usar o método de separação de variáveis para resolver a equação. Assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de uma função que depende apenas de
e outra que depende apenas de
:
Substituindo na equação do calor:
Dividindo ambos os lados por
:
Onde
é uma constante de separação.
Passo 5
Agora temos duas equações ordinárias:
- Para
:
A solução dessa equação é:
- Para
:
Essa é uma equação diferencial com solução harmônica, e as soluções que satisfazem as condições de contorno são funções senoidais.
Passo 6
Aplicando as condições de contorno
e
, obtemos que
e
. As soluções não triviais para
são:
E os valores próprios correspondentes são:
Passo 7
Portanto, as soluções particulares são:
A solução geral é uma soma infinita dessas soluções particulares:
Passo 8
Para encontrar os coeficientes
, usamos a condição inicial
:
Multiplicando ambos os lados por
e integrando de 0 a 10, aproveitamos a ortogonalidade dos senos para isolar
:
Passo 9
Calculando a integral, obtemos:
Isso significa que os coeficientes
são:
Passo 10
Substituindo
na solução geral, temos:
Resposta
A solução da equação do calor dada pelas condições especificadas é:
Isso descreve como a temperatura na haste varia ao longo de
e do tempo
. Para os gráficos, você pode truncar a série a alguns termos para visualizar as curvas nos diferentes valores de
e
especificados.
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Resolva a equação diferencial dada, verificando que seja não exata.
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(6)
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Utilize o método de separação de variáveis para encontrar, se possível, soluções na forma de produto para:
Esboce as curvas de nível e o gráfico da função dada.
Calcule
, onde
e
é a esfera de centro na origem e raio 1 .