Suponha uma haste de comprimento L = 10 cm. Resolva a equação do calor sujeita às condições:
u(0, t) = 0, u(10, t) = 0, u(x, 0) = x(10 - x)
Em seguida, faça os gráficos:
  • Um gráfico variando x e mantendo fixo t = 0, t = 10, t = 100 e t = 200 (todos sobrepostos) e
  • Um gráfico variando o tempo t e mantendo fixo x = 0, x = 2, x = 4 e x = 5 (todos sobrepostos)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma haste de 10 cm e precisa resolver a equação do calor com algumas condições específicas. A matéria que vamos usar aqui é equação diferencial parcial, especificamente a equação do calor. Vamos precisar usar métodos de separação de variáveis e séries de Fourier para encontrar a solução. Além disso, no final vamos fazer uns gráficos para visualizar como a temperatura varia ao longo da haste e do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação do calor que estamos lidando. A equação é dada por:
Aqui, representa a temperatura na posição e no tempo , e é a difusividade térmica da haste. Para simplificar, vamos assumir que .

Passo 3

As condições de contorno que temos são:
Isso significa que as extremidades da haste estão mantidas a 0°C para todo o tempo . Além disso, temos a condição inicial:
Essa é a distribuição de temperatura na haste no tempo inicial, .

Passo 4

Vamos usar o método de separação de variáveis para resolver a equação. Assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de uma função que depende apenas de e outra que depende apenas de :
Substituindo na equação do calor:
Dividindo ambos os lados por :
Onde é uma constante de separação.

Passo 5

Agora temos duas equações ordinárias:
  1. Para :
A solução dessa equação é:
  1. Para :
Essa é uma equação diferencial com solução harmônica, e as soluções que satisfazem as condições de contorno são funções senoidais.

Passo 6

Aplicando as condições de contorno e , obtemos que e . As soluções não triviais para são:
E os valores próprios correspondentes são:

Passo 7

Portanto, as soluções particulares são:
A solução geral é uma soma infinita dessas soluções particulares:

Passo 8

Para encontrar os coeficientes , usamos a condição inicial :
Multiplicando ambos os lados por e integrando de 0 a 10, aproveitamos a ortogonalidade dos senos para isolar :

Passo 9

Calculando a integral, obtemos:
Isso significa que os coeficientes são:
í

Passo 10

Substituindo na solução geral, temos:
í

Resposta

A solução da equação do calor dada pelas condições especificadas é:
í
Isso descreve como a temperatura na haste varia ao longo de e do tempo . Para os gráficos, você pode truncar a série a alguns termos para visualizar as curvas nos diferentes valores de e especificados.

Exercícios relacionados

Resolva a equação diferencial dada, verificando que seja não exata.
(1) 6xy dx + (4y + 9x^2) dy = 0
(2) (2y^2 + 3x) dx + 2xy dy = 0
(3) y(x+y+1) dx + (x+2y) dy = 0
(4) (y+1) dx - x dy = 0
(5) y dx + (1-x) dy = 0
(6) (3x^2y - x^2) dx + dy = 0
Utilize o método de separação de variáveis para encontrar, se possível, soluções na forma de produto para:
y u_x + x u_y = 0
Esboce as curvas de nível e o gráfico da função dada.
f(x, y) = x^2 - y
Calcule integral duplaS F cdot d S, onde F(x, y, z)=4 x^3 z i+4 y^3 z j+z^4 k e S é a esfera de centro na origem e raio 1 .