Esboce as curvas de nível e o gráfico da função dada.
f(x, y) = x^2 - y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçar as curvas de nível e o gráfico da função . Isso está relacionado ao estudo de funções de duas variáveis, onde analisamos como a função se comporta no plano . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como interpretar o gráfico tridimensional da função.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre curvas de nível. Uma curva de nível é o conjunto de pontos no plano onde a função tem um valor constante. Ou seja, para um valor específico , a curva de nível é definida por .

Passo 3

Aplicando isso à nossa função , queremos encontrar todas as curvas onde . Podemos reorganizar essa equação para . Isso mostra que, para cada valor de , a curva de nível será uma parábola que se abre para cima, deslocada para baixo pelo valor de .

Passo 4

Vamos esboçar algumas curvas de nível escolhendo diferentes valores de . Por exemplo:
  • Para : (parábola padrão).
  • Para : (parábola deslocada 1 unidade para baixo).
  • Para : (parábola deslocada 1 unidade para cima).
Ao desenhar essas curvas no plano , veremos uma série de parábolas empilhadas verticalmente, cada uma deslocada de acordo com o valor de .

Passo 5

Agora, vamos pensar no gráfico tridimensional da função . Aqui, estamos plotando . Esse gráfico mostra como varia em relação a e .
Observando a equação, percebemos que para cada valor fixo de , depende quadraticamente de . Isso cria uma superfície que se parece com uma sela, conhecida como paraboloide hiperbólico.

Passo 6

Para visualizar melhor, imagine que no eixo temos uma parábola que se abre para cima, e no eixo a superfície inclina-se para baixo. Isso resulta na forma característica de uma sela, onde a superfície curva para cima em uma direção (eixo ) e para baixo na outra direção (eixo ).

Resposta

As curvas de nível da função são parábolas da forma para diferentes valores de . O gráfico tridimensional dessa função é um paraboloide hiperbólico, que se assemelha a uma sela, curvando-se para cima ao longo do eixo e para baixo ao longo do eixo .

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