Esboce as curvas de nível e o gráfico da função dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçar as curvas de nível e o gráfico da função
. Isso está relacionado ao estudo de funções de duas variáveis, onde analisamos como a função se comporta no plano
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como interpretar o gráfico tridimensional da função.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre curvas de nível. Uma curva de nível é o conjunto de pontos no plano
onde a função
tem um valor constante. Ou seja, para um valor específico
, a curva de nível é definida por
.
Passo 3
Aplicando isso à nossa função
, queremos encontrar todas as curvas onde
. Podemos reorganizar essa equação para
. Isso mostra que, para cada valor de
, a curva de nível será uma parábola que se abre para cima, deslocada para baixo pelo valor de
.
Passo 4
Vamos esboçar algumas curvas de nível escolhendo diferentes valores de
. Por exemplo:
- Para
: (parábola padrão). - Para
: (parábola deslocada 1 unidade para baixo). - Para
: (parábola deslocada 1 unidade para cima).
Ao desenhar essas curvas no plano
, veremos uma série de parábolas empilhadas verticalmente, cada uma deslocada de acordo com o valor de
.
Passo 5
Agora, vamos pensar no gráfico tridimensional da função
. Aqui, estamos plotando
. Esse gráfico mostra como
varia em relação a
e
.
Observando a equação, percebemos que para cada valor fixo de
,
depende quadraticamente de
. Isso cria uma superfície que se parece com uma sela, conhecida como paraboloide hiperbólico.
Passo 6
Para visualizar melhor, imagine que no eixo
temos uma parábola que se abre para cima, e no eixo
a superfície inclina-se para baixo. Isso resulta na forma característica de uma sela, onde a superfície curva para cima em uma direção (eixo
) e para baixo na outra direção (eixo
).
Resposta
As curvas de nível da função
são parábolas da forma
para diferentes valores de
. O gráfico tridimensional dessa função é um paraboloide hiperbólico, que se assemelha a uma sela, curvando-se para cima ao longo do eixo
e para baixo ao longo do eixo
.