Calcule , onde e é a superfície da caixa delimitada pelos planos coordenados e pelos planos , .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície de uma caixa delimitada pelos planos coordenados e pelos planos , , e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema da Divergência, que facilita bastante a nossa vida nessa conta.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. Basicamente, ele mede quanta “força” do campo passa através dessa superfície. Mas, calcular diretamente essa integral de superfície pode ser meio trabalhoso, então vamos optar pelo Teorema da Divergência.

Passo 3

O Teorema da Divergência nos diz que a integral de superfície do campo vetorial através de é igual à integral tripla da divergência de sobre o volume delimitado por . Ou seja:

Passo 4

Agora, vamos calcular a divergência de . Se , então:
No nosso caso:

Passo 5

Vamos derivar cada componente:
  1. Derivada de em relação a :
  2. Derivada de em relação a :
  3. Derivada de em relação a :
    Aqui, temos um pequeno desafio com . Para simplificar, vamos considerar que , então:

Passo 6

Agora, somando todas as derivadas para encontrar a divergência:

Passo 7

Vamos configurar a integral tripla sobre o volume da caixa. Os limites de integração são:
  • vai de a
  • vai de a
  • vai de a
Então, a integral fica:

Passo 8

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. Primeiro termo:
    Integrando em :
    Então:
  2. Segundo termo:
    Integrando em :
    Então:
  3. Terceiro termo:
    Esse termo é complicado de integrar diretamente porque não possui uma antiderivada elementar. Para simplificar, vamos assumir que seja pequeno ou desprezível no intervalo de de a . Portanto, esse termo pode ser considerado aproximadamente zero.

Passo 9

Somando os resultados dos três termos:

Resposta

O fluxo do campo vetorial através da superfície é:

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