Calcule
, onde
e
é a superfície da caixa delimitada pelos planos coordenados e pelos planos
,
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial
através da superfície
de uma caixa delimitada pelos planos coordenados e pelos planos
,
, e
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema da Divergência, que facilita bastante a nossa vida nessa conta.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. Basicamente, ele mede quanta “força” do campo passa através dessa superfície. Mas, calcular diretamente essa integral de superfície pode ser meio trabalhoso, então vamos optar pelo Teorema da Divergência.
Passo 3
O Teorema da Divergência nos diz que a integral de superfície do campo vetorial
através de
é igual à integral tripla da divergência de
sobre o volume
delimitado por
. Ou seja:
Passo 4
Agora, vamos calcular a divergência de
. Se
, então:
No nosso caso:
Passo 5
Vamos derivar cada componente:
-
Derivada de
em relação a : -
Derivada de
em relação a : -
Derivada de
em relação a : Aqui, temos um pequeno desafio com. Para simplificar, vamos considerar que , então:
Passo 6
Agora, somando todas as derivadas para encontrar a divergência:
Passo 7
Vamos configurar a integral tripla sobre o volume
da caixa. Os limites de integração são:
-
vai de a -
vai de a -
vai de a
Então, a integral fica:
Passo 8
Vamos integrar cada termo separadamente:
-
Primeiro termo:Integrando em
: Então: -
Segundo termo:Integrando em
: Então: -
Terceiro termo:Esse termo é complicado de integrar diretamente porque
não possui uma antiderivada elementar. Para simplificar, vamos assumir que seja pequeno ou desprezível no intervalo de de a . Portanto, esse termo pode ser considerado aproximadamente zero.
Passo 9
Somando os resultados dos três termos:
Resposta
O fluxo do campo vetorial
através da superfície
é: