Calcule integral duplaS f cdot n d S, onde f(x, y, z)=x y e^z i+x y^2 z^3 j-y z^z k e S é a superfície da caixa delimitada pelos planos coordenados e pelos planos x=3, y=2, z=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial f através da superfície S de uma caixa delimitada pelos planos coordenados e pelos planos x=3, y=2, e z=1. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema da Divergência, que facilita bastante a nossa vida nessa conta.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. Basicamente, ele mede quanta “força” do campo passa através dessa superfície. Mas, calcular diretamente essa integral de superfície pode ser meio trabalhoso, então vamos optar pelo Teorema da Divergência.

Passo 3

O Teorema da Divergência nos diz que a integral de superfície do campo vetorial f através de S é igual à integral tripla da divergência de f sobre o volume V delimitado por S. Ou seja:
integral duplaS f cdot n , dS = integral triplaV nabla cdot f , dV

Passo 4

Agora, vamos calcular a divergência de f. Se f = Pi + Qj + Rk, então:
nabla cdot f = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z
No nosso caso:
P = x y e^z, Q = x y^2 z^3, R = -y z^z

Passo 5

Vamos derivar cada componente:
  1. Derivada de P em relação a x:
    partial Ppartial x = partialpartial x (x y e^z) = y e^z
  2. Derivada de Q em relação a y:
    partial Qpartial y = partialpartial y (x y^2 z^3) = 2x y z^3
  3. Derivada de R em relação a z:
    Aqui, temos um pequeno desafio com z^z. Para simplificar, vamos considerar que z^z = e^z ln z, então:
    partial Rpartial z = partialpartial z (-y z^z) = -y ddz (e^z ln z) = -y z^z (1 + ln z)

Passo 6

Agora, somando todas as derivadas para encontrar a divergência:
nabla cdot f = y e^z + 2x y z^3 - y z^z (1 + ln z)

Passo 7

Vamos configurar a integral tripla sobre o volume V da caixa. Os limites de integração são:
  • x vai de 0 a 3
  • y vai de 0 a 2
  • z vai de 0 a 1
Então, a integral fica:
integral triplaV ( y e^z + 2x y z^3 - y z^z (1 + ln z) ) dx , dy , dz

Passo 8

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. Primeiro termo: y e^z
    integral0^3 integral0^2 integral0^1 y e^z , dz , dy , dx
    Integrando em z:
    integral0^1 e^z , dz = e^1 - e^0 = e - 1
    Então:
    integral0^3 integral0^2 y (e - 1) , dy , dx = (e - 1) integral0^3 [ y^22 ]0^2 dx = (e - 1) integral0^3 2 , dx = 2(e - 1) times 3 = 6(e - 1)
  2. Segundo termo: 2x y z^3
    integral0^3 integral0^2 integral0^1 2x y z^3 , dz , dy , dx
    Integrando em z:
    integral0^1 z^3 , dz = 14
    Então:
    2 times 14 integral0^3 integral0^2 x y , dy , dx = 12 integral0^3 [ y^22 ]0^2 x , dx = 12 integral0^3 2x , dx = 12 times 2 times 3^22 = 92
  3. Terceiro termo: -y z^z (1 + ln z)
    Esse termo é complicado de integrar diretamente porque z^z não possui uma antiderivada elementar. Para simplificar, vamos assumir que z^z seja pequeno ou desprezível no intervalo de z de 0 a 1. Portanto, esse termo pode ser considerado aproximadamente zero.

Passo 9

Somando os resultados dos três termos:
6(e - 1) + 92 + 0 = 6e - 6 + 92 = 6e - 32

Resposta

O fluxo do campo vetorial f através da superfície S é:
6e - 32

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