Equação de Bernoulli: Algumas vezes é possível resolver uma equação não-linear fazendo-se uma mudança na variável dependente de forma a transformar a equação em uma equação linear. Um exemplo importante da aplicação dessa técnica se observa em equações da forma
y' + p(t) y = g(t) y^n
Este tipo de equação é chamada equação de Bernoulli. Os problemas que seguem dão as diretrizes para resolver uma equação de Bernoulli qualquer.
f) Resolva a equação y' = r y - k y^2 onde r, k > 0.
12 - Equação de Ricatti: A equação
y' + p(t) y + q(t) y^2 = f(t)
onde p(t), q(t) e f(t) são funções contínuas em algum intervalo I da reta real e q(t) <> 0 em I, é conhecida como equação de Ricatti. Seja y1(t) uma solução particular dessa equação. Considere então a mudança de variável y(t) = y1(t) + 1/z(t).
a) Mostre que essa mudança de variável transforma a equação de Ricatti em uma equação de primeira ordem e linear para z(t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial , onde e são maiores que zero. Essa equação é do tipo Bernoulli, que é uma equação não-linear. Para resolver, vamos transformar essa equação em uma linear usando uma mudança de variável.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar os termos claramente:
Aqui, e , e o expoente .

Passo 3

A equação de Bernoulli tem a forma geral:
Para resolver, fazemos a mudança de variável . No nosso caso, , então:

Passo 4

Agora, vamos derivar em relação a :
Substituindo da equação original:
Como , podemos substituir:

Passo 5

Agora, temos uma equação linear em termos de :
Para resolver essa equação linear, usamos o fator integrante. O fator integrante é dado por:

Passo 6

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação a :
A integral de é , então:

Passo 8

Resolvendo para :
Lembrando que , temos:

Passo 9

Finalmente, resolvendo para :

Resposta

A solução geral da equação é
onde é uma constante arbitrária.

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