Equação de Bernoulli: Algumas vezes é possível resolver uma equação não-linear fazendo-se uma mudança na variável dependente de forma a transformar a equação em uma equação linear. Um exemplo importante da aplicação dessa técnica se observa em equações da forma
Este tipo de equação é chamada equação de Bernoulli. Os problemas que seguem dão as diretrizes para resolver uma equação de Bernoulli qualquer.
f) Resolva a equação onde .
12 - Equação de Ricatti: A equação
onde e são funções contínuas em algum intervalo I da reta real e em I, é conhecida como equação de Ricatti. Seja uma solução particular dessa equação. Considere então a mudança de variável .
a) Mostre que essa mudança de variável transforma a equação de Ricatti em uma equação de primeira ordem e linear para .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial , onde e são maiores que zero. Essa equação é do tipo Bernoulli, que é uma equação não-linear. Para resolver, vamos transformar essa equação em uma linear usando uma mudança de variável.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar os termos claramente:
Aqui, e , e o expoente .

Passo 3

A equação de Bernoulli tem a forma geral:
Para resolver, fazemos a mudança de variável . No nosso caso, , então:

Passo 4

Agora, vamos derivar em relação a :
Substituindo da equação original:
Como , podemos substituir:

Passo 5

Agora, temos uma equação linear em termos de :
Para resolver essa equação linear, usamos o fator integrante. O fator integrante é dado por:

Passo 6

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação a :
A integral de é , então:

Passo 8

Resolvendo para :
Lembrando que , temos:

Passo 9

Finalmente, resolvendo para :

Resposta

A solução geral da equação é
onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Calcule , onde e é a superfície da caixa delimitada pelos planos coordenados e pelos planos , .
Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo e as utilize para determinar o comportamento das soluções quando :
b)
9 - Encontre o valor de para o qual a solução do problema de valor inicial
permanece finita quando .
Calcule , onde é a superfície , e .
Calcule , sendo e o paraboloide , orientado no sentido anti-horário.