Equação de Bernoulli: Algumas vezes é possível resolver uma equação não-linear fazendo-se uma mudança na variável dependente de forma a transformar a equação em uma equação linear. Um exemplo importante da aplicação dessa técnica se observa em equações da forma
Este tipo de equação é chamada equação de Bernoulli. Os problemas que seguem dão as diretrizes para resolver uma equação de Bernoulli qualquer.
f) Resolva a equação
onde
.
12 - Equação de Ricatti: A equação
onde
e
são funções contínuas em algum intervalo I da reta real e
em I, é conhecida como equação de Ricatti. Seja
uma solução particular dessa equação. Considere então a mudança de variável
.
a) Mostre que essa mudança de variável transforma a equação de Ricatti em uma equação de primeira ordem e linear para
.
f) Resolva a equação
12 - Equação de Ricatti: A equação
a) Mostre que essa mudança de variável transforma a equação de Ricatti em uma equação de primeira ordem e linear para
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
, onde
e
são maiores que zero. Essa equação é do tipo Bernoulli, que é uma equação não-linear. Para resolver, vamos transformar essa equação em uma linear usando uma mudança de variável.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar os termos claramente:
Aqui,
e
, e o expoente
.
Passo 3
A equação de Bernoulli tem a forma geral:
Para resolver, fazemos a mudança de variável
. No nosso caso,
, então:
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Substituindo
da equação original:
Como
, podemos substituir:
Passo 5
Agora, temos uma equação linear em termos de
:
Para resolver essa equação linear, usamos o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Passo 6
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 7
Integrando ambos os lados em relação a
:
A integral de
é
, então:
Passo 8
Resolvendo para
:
Lembrando que
, temos:
Passo 9
Finalmente, resolvendo para
:
Resposta
A solução geral da equação é
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
e
é a superfície da caixa delimitada pelos planos coordenados e pelos planos
,
.
Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo e as utilize para determinar o comportamento das soluções quando
:
b)
9 - Encontre o valor de para o qual a solução
do problema de valor inicial
b)
9 - Encontre o valor de
permanece finita quando
.
Calcule
, onde
é a superfície
,
e
.
Calcule
, sendo
e
o paraboloide
, orientado no sentido anti-horário.