Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo e as utilize para determinar o comportamento das soluções quando
:
b)
9 - Encontre o valor de
para o qual a solução
do problema de valor inicial
permanece finita quando
.
b)
9 - Encontre o valor de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A primeira parte pede para encontrar a solução geral da equação diferencial
e entender como as soluções se comportam quando
vai para o infinito. Para isso, vamos usar métodos de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação. Dividindo todos os termos por 2, temos:
Agora, identificamos que essa é uma equação diferencial linear da forma
, onde
e
.
Passo 3
Para resolver esse tipo de equação, usamos o fator integrante. O fator integrante (
) é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
O lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto
:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
, temos:
O lado esquerdo simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, precisamos resolver a integral
. Vamos usar integração por partes, onde:
Aplicando a integração por partes:
Passo 7
Substituindo de volta na equação anterior:
Simplificando:
Passo 8
Agora, dividimos ambos os lados por
para isolar
:
Essa é a solução geral da equação diferencial.
Passo 9
Vamos analisar o comportamento da solução quando
. Observe que:
Quando
cresce sem limites:
- O termo
cresce linearmente para . - O termo constante
permanece fixo. - O termo
tende a zero, já que decresce exponencialmente.
Portanto, para
, o comportamento dominante é
, ou seja, a solução cresce linearmente sem limites.
Passo 10
Agora, vamos para a segunda parte do exercício! Queremos encontrar o valor inicial
tal que a solução da equação diferencial
, com condição inicial
, permaneça finita quando
vai para o infinito.
Passo 11
Primeiro, identificamos que essa é uma equação diferencial linear não homogênea na forma
, onde
e
.
Passo 12
Vamos encontrar a solução geral da equação. Primeiro, calculamos o fator integrante (
):
Passo 13
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 14
Integrando ambos os lados em relação a
:
Simplificando:
Passo 15
Vamos resolver as integrais:
-
-
Para
, usamos integração por partes ou a fórmula padrão. O resultado é:
Passo 16
Substituindo de volta:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 17
Agora, aplicamos a condição inicial
:
Simplificando:
Passo 18
Substituindo
de volta na solução geral:
Passo 19
Queremos que a solução permaneça finita quando
. Observamos que o termo
tende a
ou
a menos que o coeficiente seja zero. Portanto, para que a solução não cresça exponencialmente, precisamos que:
Resposta
O valor inicial que garante que a solução
permaneça finita quando
é: