Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo e as utilize para determinar o comportamento das soluções quando t -> infinito :
b) 2y' + y = 3t
9 - Encontre o valor de y0 para o qual a solução y(t) do problema de valor inicial
y' - y = 1 + 3 sen(t), y(0) = y0
permanece finita quando t -> infinito.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A primeira parte pede para encontrar a solução geral da equação diferencial e entender como as soluções se comportam quando vai para o infinito. Para isso, vamos usar métodos de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação. Dividindo todos os termos por 2, temos:
Agora, identificamos que essa é uma equação diferencial linear da forma , onde e .

Passo 3

Para resolver esse tipo de equação, usamos o fator integrante. O fator integrante ( ) é dado por:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
O lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto :

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a , temos:
O lado esquerdo simplifica para:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, precisamos resolver a integral . Vamos usar integração por partes, onde:
Aplicando a integração por partes:

Passo 7

Substituindo de volta na equação anterior:
Simplificando:

Passo 8

Agora, dividimos ambos os lados por para isolar :
Essa é a solução geral da equação diferencial.

Passo 9

Vamos analisar o comportamento da solução quando . Observe que:
Quando cresce sem limites:
  • O termo cresce linearmente para .
  • O termo constante permanece fixo.
  • O termo tende a zero, já que decresce exponencialmente.
Portanto, para , o comportamento dominante é , ou seja, a solução cresce linearmente sem limites.

Passo 10

Agora, vamos para a segunda parte do exercício! Queremos encontrar o valor inicial tal que a solução da equação diferencial , com condição inicial , permaneça finita quando vai para o infinito.

Passo 11

Primeiro, identificamos que essa é uma equação diferencial linear não homogênea na forma , onde e .

Passo 12

Vamos encontrar a solução geral da equação. Primeiro, calculamos o fator integrante ( ):

Passo 13

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 14

Integrando ambos os lados em relação a :
Simplificando:

Passo 15

Vamos resolver as integrais:
  1. Para , usamos integração por partes ou a fórmula padrão. O resultado é:

Passo 16

Substituindo de volta:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 17

Agora, aplicamos a condição inicial :
Simplificando:

Passo 18

Substituindo de volta na solução geral:

Passo 19

Queremos que a solução permaneça finita quando . Observamos que o termo tende a ou a menos que o coeficiente seja zero. Portanto, para que a solução não cresça exponencialmente, precisamos que:

Resposta

O valor inicial que garante que a solução permaneça finita quando é:

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