A posição
de um determinado sistema massa-mola satisfaz a seguinte equação diferencial
Mostre que toda solução desse sistema converge (quando
) para a solução de equilíbrio
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um sistema massa-mola cuja posição, representada por
, segue a equação diferencial
. Nosso objetivo aqui é mostrar que, conforme o tempo
vai para o infinito, a posição
do sistema tende a zero, ou seja, o sistema acaba ficando em equilíbrio na posição
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e analisar o comportamento das soluções quando
cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea
. Para isso, vamos achar as raízes da equação característica associada, que é uma equação quadrática obtida substituindo
por
.
A equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
onde
,
e
.
Calculando o discriminante (
):
Como o discriminante é negativo (
), as raízes serão complexas.
Passo 4
As raízes complexas são:
Então, as raízes são
e
.
Passo 5
Com raízes complexas da forma
, a solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
No nosso caso,
e
, então:
Passo 6
Agora, vamos analisar o comportamento de
quando
tende ao infinito. Observamos que a função
tende a zero à medida que
aumenta, já que o expoente negativo faz com que a função diminua exponencialmente.
Mesmo que as funções
e
oscilem, o fator
vai fazendo com que a amplitude dessas oscilações diminua cada vez mais, levando o todo a zero.
Resposta
Portanto, toda solução do sistema massa-mola dadas por
converge para a solução de equilíbrio
quando
tende ao infinito.