A posição s(t) de um determinado sistema massa-mola satisfaz a seguinte equação diferencial
s'' + 2 s' + 10 s = 0
Mostre que toda solução desse sistema converge (quando t -> infinito ) para a solução de equilíbrio s ≡ 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um sistema massa-mola cuja posição, representada por , segue a equação diferencial . Nosso objetivo aqui é mostrar que, conforme o tempo vai para o infinito, a posição do sistema tende a zero, ou seja, o sistema acaba ficando em equilíbrio na posição . Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e analisar o comportamento das soluções quando cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea . Para isso, vamos achar as raízes da equação característica associada, que é uma equação quadrática obtida substituindo por .
A equação característica fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes . Usamos a fórmula de Bhaskara:
onde , e .
Calculando o discriminante ( ):
Como o discriminante é negativo ( ), as raízes serão complexas.

Passo 4

As raízes complexas são:
Então, as raízes são e .

Passo 5

Com raízes complexas da forma , a solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.
No nosso caso, e , então:

Passo 6

Agora, vamos analisar o comportamento de quando tende ao infinito. Observamos que a função tende a zero à medida que aumenta, já que o expoente negativo faz com que a função diminua exponencialmente.
Mesmo que as funções e oscilem, o fator vai fazendo com que a amplitude dessas oscilações diminua cada vez mais, levando o todo a zero.

Resposta

Portanto, toda solução do sistema massa-mola dadas por converge para a solução de equilíbrio quando tende ao infinito.

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