A posição
de um determinado sistema massa-mola satisfaz a seguinte equação diferencial
Encontre a solução geral da equação.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
. Esse tipo de problema pertence à matéria de Equações Diferenciais, especificamente equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, identificamos que a equação é linear e homogênea, o que significa que todos os termos estão definidos em termos de
e suas derivadas, e não há termos independentes. A forma geral de tal equação é
, onde
e
são constantes.
Passo 3
Para resolver, usamos o método dos coeficientes constantes. Começamos formando a equação característica associada à equação diferencial, que é dada por:
Essa equação nos ajudará a encontrar as raízes
que determinam a forma da solução.
Passo 4
Resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Substituindo esses valores:
Passo 5
Como o discriminante
é um número imaginário, representamos
como
. Então, as raízes são:
Essas raízes complexas indicam que a solução geral terá componentes exponenciais e trigonométricas.
Passo 6
A solução geral para equações com raízes complexas
é dada por:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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Determine a equação geral que define implicitamente a solução da equação abaixo
Encontre uma solução particular de
A posição
de um determinado sistema massa-mola satisfaz a seguinte equação diferencial
Mostre que toda solução desse sistema converge (quando
) para a solução de equilíbrio
.
Calcule
, onde
e
a região do plano
, situada no primeiro octante, com
.