A posição de um determinado sistema massa-mola satisfaz a seguinte equação diferencial
Encontre a solução geral da equação.

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de problema pertence à matéria de Equações Diferenciais, especificamente equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, identificamos que a equação é linear e homogênea, o que significa que todos os termos estão definidos em termos de e suas derivadas, e não há termos independentes. A forma geral de tal equação é , onde e são constantes.

Passo 3

Para resolver, usamos o método dos coeficientes constantes. Começamos formando a equação característica associada à equação diferencial, que é dada por:
Essa equação nos ajudará a encontrar as raízes que determinam a forma da solução.

Passo 4

Resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Substituindo esses valores:

Passo 5

Como o discriminante é um número imaginário, representamos como . Então, as raízes são:
Essas raízes complexas indicam que a solução geral terá componentes exponenciais e trigonométricas.

Passo 6

A solução geral para equações com raízes complexas é dada por:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Determine a equação geral que define implicitamente a solução da equação abaixo
Encontre uma solução particular de
A posição de um determinado sistema massa-mola satisfaz a seguinte equação diferencial
Mostre que toda solução desse sistema converge (quando ) para a solução de equilíbrio .
Calcule , onde e a região do plano , situada no primeiro octante, com .