Seja a porção do cilindro , com , limitada pelo plano e o plano . Calcule a massa de , sabendo que a densidade de massa em um ponto é igual ao quadrado da distância do ponto ao eixo .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Queremos calcular a massa da porção de um cilindro definido pela equação , onde . Essa porção está limitada pelo plano e pelo plano . A densidade de massa em cada ponto dessa superfície é igual ao quadrado da distância desse ponto ao eixo .
Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo integral, especificamente integrais de superfície. Precisamos parametrizar a superfície , determinar a função densidade em termos dessas coordenadas e, por fim, calcular a integral dupla para encontrar a massa.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a superfície . Como está no cilindro , podemos usar coordenadas cilíndricas para facilitar. Em coordenadas cilíndricas, temos:
Onde varia de a e varia de até o ponto onde o plano corta o cilindro.

Passo 3

Vamos encontrar os limites de . O plano intercepta o cilindro onde e . Substituindo na equação do plano:
Então, para cada , varia de a .

Passo 4

Agora, vamos expressar a densidade em termos das coordenadas cilíndricas. A distância de um ponto ao eixo é . Portanto, a densidade é:
Em coordenadas cilíndricas, isso fica:
Interessante! A densidade é constante e igual a 1.

Passo 5

Agora, precisamos calcular o elemento de área da superfície . Em coordenadas cilíndricas, o elemento de área em uma superfície definida por é dado por:
No nosso caso, como estamos fixando (cilindro unitário), e depende apenas de , simplificamos:
Calculamos :
Então:

Passo 6

Agora, podemos montar a integral para a massa:
Essa integral pode ser complexa para resolver analiticamente, então vamos considerar usar métodos numéricos ou simplificar a expressão.

Passo 7

Observando a integral:
Podemos usar uma identidade trigonométrica para simplificar:
Isso não simplifica diretamente a integral, então vamos optar por calcular numericamente.

Passo 8

Calculando numericamente a integral:
Utilizando métodos de integração numérica (como a regra dos trapézios ou Simpson), podemos aproximar o valor da massa . Após os cálculos, encontramos:

Resposta

A massa de é aproximadamente unidades de massa.

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Calcule , onde
e é a superfície do sólido limitado por e o plano , com exterior.