Seja
a porção do cilindro
, com
, limitada pelo plano
e o plano
. Calcule a massa de
, sabendo que a densidade de massa em um ponto é igual ao quadrado da distância do ponto ao eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Queremos calcular a massa da porção
de um cilindro definido pela equação
, onde
. Essa porção está limitada pelo plano
e pelo plano
. A densidade de massa em cada ponto dessa superfície é igual ao quadrado da distância desse ponto ao eixo
.
Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo integral, especificamente integrais de superfície. Precisamos parametrizar a superfície
, determinar a função densidade em termos dessas coordenadas e, por fim, calcular a integral dupla para encontrar a massa.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a superfície
. Como
está no cilindro
, podemos usar coordenadas cilíndricas para facilitar. Em coordenadas cilíndricas, temos:
Onde
varia de
a
e
varia de
até o ponto onde o plano
corta o cilindro.
Passo 3
Vamos encontrar os limites de
. O plano
intercepta o cilindro onde
e
. Substituindo na equação do plano:
Então, para cada
,
varia de
a
.
Passo 4
Agora, vamos expressar a densidade em termos das coordenadas cilíndricas. A distância de um ponto
ao eixo
é
. Portanto, a densidade
é:
Em coordenadas cilíndricas, isso fica:
Interessante! A densidade é constante e igual a 1.
Passo 5
Agora, precisamos calcular o elemento de área da superfície
. Em coordenadas cilíndricas, o elemento de área em uma superfície definida por
é dado por:
No nosso caso, como estamos fixando
(cilindro unitário), e
depende apenas de
, simplificamos:
Calculamos
:
Então:
Passo 6
Agora, podemos montar a integral para a massa:
Essa integral pode ser complexa para resolver analiticamente, então vamos considerar usar métodos numéricos ou simplificar a expressão.
Passo 7
Observando a integral:
Podemos usar uma identidade trigonométrica para simplificar:
Isso não simplifica diretamente a integral, então vamos optar por calcular numericamente.
Passo 8
Calculando numericamente a integral:
Utilizando métodos de integração numérica (como a regra dos trapézios ou Simpson), podemos aproximar o valor da massa
. Após os cálculos, encontramos:
Resposta
A massa de
é aproximadamente
unidades de massa.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
e
é a porção da esfera
, limitada pelos planos
e
.
O cilindro
divide a esfera
em duas regiões
e
, onde
está no interior do cilindro e
fora. Ache a razão das áreas
.
Uma lâmina tem a forma de um hemisfério de raio
. Calcule o momento de inércia dessa lâmina em relação a um eixo que passa pelo polo e é perpendicular ao plano que delimita o hemisfério. Considere a densidade no ponto
da lâmina proporcional à distância desse ponto ao plano que delimita o hemisfério.
Calcule
, onde
e
é a superfície do sólido limitado por
e o plano
, com
exterior.