Calcule , sendo e a superfície com normal exterior da esfera representada por

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de superfície , onde e é a superfície externa de uma esfera. Esse problema envolve o cálculo de integrais vetoriais sobre superfícies, especificamente usando o conceito de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que cada parte significa. A integral representa o fluxo do campo vetorial através da superfície . Aqui, é o vetor normal à superfície, apontando para fora da esfera.

Passo 3

Vamos identificar a superfície . A equação paramétrica da esfera é dada por:
com e . Isso descreve uma esfera de raio centrada na origem.

Passo 4

Para calcular o fluxo, precisamos encontrar o vetor normal . Em uma esfera, o vetor normal exterior é simplesmente dividido pelo seu módulo. Como a esfera tem raio , temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar :
Como estamos na superfície da esfera, sabemos que . Portanto:

Passo 6

Isso simplifica a integral para:
Agora, precisamos calcular a área da esfera. A área de uma esfera de raio é dada por .

Passo 7

Multiplicando, temos:

Resposta

O valor da integral é .

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