Calcule integral duplaS f cdot n d S, sendo f=x i+y j+z k e S a superfície com normal exterior da esfera representada por
r(u, v)=(a cos u cos v, a sen u cos v, a sen v) com 0 <= u <= 2 pi,-pi2 <= v <= pi2

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de superfície , onde e é a superfície externa de uma esfera. Esse problema envolve o cálculo de integrais vetoriais sobre superfícies, especificamente usando o conceito de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que cada parte significa. A integral representa o fluxo do campo vetorial através da superfície . Aqui, é o vetor normal à superfície, apontando para fora da esfera.

Passo 3

Vamos identificar a superfície r(u, v) = (a cos u cos v, , a sin u cos v, , a sin v) . A equação paramétrica da esfera é dada por:
com e . Isso descreve uma esfera de raio centrada na origem.

Passo 4

Para calcular o fluxo, precisamos encontrar o vetor normal n = r|r| = (x, y, z)a . Em uma esfera, o vetor normal exterior é simplesmente dividido pelo seu módulo. Como a esfera tem raio , temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar f cdot n = (x,i + y,j + z,k) cdot (x, y, z)a = x^2 + y^2 + z^2a :
f cdot n = a^2a = a
Como estamos na superfície da esfera, sabemos que . Portanto:

Passo 6

Isso simplifica a integral para:
integral duplaS a , dS = a integral duplaS dS
Agora, precisamos calcular a área da esfera. A área de uma esfera de raio é dada por .

Passo 7

Multiplicando, temos:
a times 4pi a^2 = 4pi a^3

Resposta

O valor da integral é .

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