Calcule
, sendo
e
a superfície com normal exterior da esfera representada por
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de superfície
, onde
e
é a superfície externa de uma esfera. Esse problema envolve o cálculo de integrais vetoriais sobre superfícies, especificamente usando o conceito de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que cada parte significa. A integral
representa o fluxo do campo vetorial
através da superfície
. Aqui,
é o vetor normal à superfície, apontando para fora da esfera.
Passo 3
Vamos identificar a superfície
. A equação paramétrica da esfera é dada por:
com
e
. Isso descreve uma esfera de raio
centrada na origem.
Passo 4
Para calcular o fluxo, precisamos encontrar o vetor normal
. Em uma esfera, o vetor normal exterior é simplesmente
dividido pelo seu módulo. Como a esfera tem raio
, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Como estamos na superfície da esfera, sabemos que
. Portanto:
Passo 6
Isso simplifica a integral para:
Agora, precisamos calcular a área da esfera. A área de uma esfera de raio
é dada por
.
Passo 7
Multiplicando, temos:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Seja
a parte do gráfico de
, com normal exterior. Usando o Teorema de Stokes, determine
, sendo
.
Usando o Teorema de Stokes, calcule
, onde
é o contorno da parte do plano
, que está no
octante, no sentido anti-horário.
Um fluido de densidade constante, com velocidade
, escoa através da superfície
dada por
, com
,
, na direção do vetor
. Determine a massa de fluido que atravessa
.
Determine e faça um esboço do domínio das seguintes funções: