Seja
a parte do gráfico de
, com normal exterior. Usando o Teorema de Stokes, determine
, sendo
.
Passo 1
Ok, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma superfície
que é a parte do gráfico de
onde
. Essa superfície é como um paraboloide “virado” para baixo. Queremos usar o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha
, onde
. Para isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Stokes e como aplicá-lo a essa situação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada
com a integral de superfície do rotacional desse campo sobre uma superfície
que tem
como fronteira. A fórmula é:
onde
é o vetor normal à superfície
.
Passo 3
Vamos encontrar o rotacional de
, ou seja,
. Dado que
, aplicamos a fórmula do rotacional:
Calculando as derivadas:
Passo 4
Agora, precisamos determinar o vetor normal
à superfície
. A superfície é dada por
. Para encontrar
, usamos a derivada parcial:
Onde
e
. Portanto:
Mas como vamos calcular
, vamos simplificar e usar a orientação correta para o cálculo.
Passo 5
A integral de superfície fica:
No entanto, podemos simplificar isso observando que a projeção da superfície no plano
é um círculo de raio 3 (pois
implica
). Usaremos a coordenação polar para facilitar a integração.
Passo 6
Em coordenadas polares,
e
, com
indo de 0 a 3 e
de 0 a
. A área diferencial
para o paraboloide é:
Substituindo
e
por coordenadas polares:
Passo 7
Agora, substituímos na integral:
Em coordenadas polares:
Portanto, a integral fica:
Passo 8
Observamos que as integrais de
e
sobre
a
são zero, pois são funções ímpares em
. Assim, a única parte que contribui é a integral de 4:
Passo 9
Vamos calcular a integral em
:
Fazendo a substituição
, então
ou
. A integral torna-se:
Avaliado de 0 a 3:
Passo 10
Substituindo de volta na expressão total:
Calculando
:
Portanto:
Resposta
Exercícios relacionados
Usando o Teorema de Stokes, calcule
, onde
é o contorno da parte do plano
, que está no
octante, no sentido anti-horário.
Use os itens anteriores para determinar a solução geral de cada uma das equações de Ricatti abaixo (observe que uma solução particular
é dada em cada caso):
(c.2) ,
(c.2)
Calcule
, sendo
e
a superfície com normal exterior da esfera representada por
Um fluido de densidade constante, com velocidade
, escoa através da superfície
dada por
, com
,
, na direção do vetor
. Determine a massa de fluido que atravessa
.