Seja a parte do gráfico de , com normal exterior. Usando o Teorema de Stokes, determine , sendo .

Passo 1

Ok, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma superfície que é a parte do gráfico de onde . Essa superfície é como um paraboloide “virado” para baixo. Queremos usar o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha , onde . Para isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Stokes e como aplicá-lo a essa situação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada com a integral de superfície do rotacional desse campo sobre uma superfície que tem como fronteira. A fórmula é:
onde é o vetor normal à superfície .

Passo 3

Vamos encontrar o rotacional de , ou seja, . Dado que , aplicamos a fórmula do rotacional:
Calculando as derivadas:

Passo 4

Agora, precisamos determinar o vetor normal à superfície . A superfície é dada por . Para encontrar , usamos a derivada parcial:
Onde e . Portanto:
Mas como vamos calcular , vamos simplificar e usar a orientação correta para o cálculo.

Passo 5

A integral de superfície fica:
No entanto, podemos simplificar isso observando que a projeção da superfície no plano é um círculo de raio 3 (pois implica ). Usaremos a coordenação polar para facilitar a integração.

Passo 6

Em coordenadas polares, e , com indo de 0 a 3 e de 0 a . A área diferencial para o paraboloide é:
Substituindo e por coordenadas polares:

Passo 7

Agora, substituímos na integral:
Em coordenadas polares:
Portanto, a integral fica:

Passo 8

Observamos que as integrais de e sobre a são zero, pois são funções ímpares em . Assim, a única parte que contribui é a integral de 4:

Passo 9

Vamos calcular a integral em :
Fazendo a substituição , então ou . A integral torna-se:
Avaliado de 0 a 3:

Passo 10

Substituindo de volta na expressão total:
Calculando :
Portanto:

Resposta

Exercícios relacionados

Usando o Teorema de Stokes, calcule , onde é o contorno da parte do plano , que está no octante, no sentido anti-horário.
Use os itens anteriores para determinar a solução geral de cada uma das equações de Ricatti abaixo (observe que uma solução particular é dada em cada caso):
(c.2) ,
Calcule , sendo e a superfície com normal exterior da esfera representada por
Um fluido de densidade constante, com velocidade , escoa através da superfície dada por , com , , na direção do vetor . Determine a massa de fluido que atravessa .