Seja S a parte do gráfico de z=9-x^2-y^2, z >= 0, com normal exterior. Usando o Teorema de Stokes, determine ointC f cdot d r, sendo f=(3 z, 4 x, 2 y).

Passo 1

Ok, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma superfície que é a parte do gráfico de onde . Essa superfície é como um paraboloide “virado” para baixo. Queremos usar o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha , onde . Para isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Stokes e como aplicá-lo a essa situação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada ointC f cdot dr = integral duplaS (nabla times f) cdot n , dS com a integral de superfície do rotacional desse campo sobre uma superfície que tem como fronteira. A fórmula é:
onde é o vetor normal à superfície .

Passo 3

Vamos encontrar o rotacional de nabla times f = ( partial (2y)partial y - partial (4x)partial z, partial (3z)partial z - partial (2y)partial x, partial (4x)partial x - partial (3z)partial y ) , ou seja, nabla times f = (2 - 0, 3 - 0, 4 - 0) = (2, 3, 4) . Dado que , aplicamos a fórmula do rotacional:
Calculando as derivadas:

Passo 4

Agora, precisamos determinar o vetor normal n = (-fx, -fy, 1)raizfx^2 + fy^2 + 1 à superfície n = (2x, 2y, 1)raiz4x^2 + 4y^2 + 1 . A superfície é dada por . Para encontrar , usamos a derivada parcial:
Onde e . Portanto:
Mas como vamos calcular , vamos simplificar e usar a orientação correta para o cálculo.

Passo 5

A integral de superfície fica:
integral duplaS (2, 3, 4) cdot (2x, 2y, 1)raiz4x^2 + 4y^2 + 1 , dS
No entanto, podemos simplificar isso observando que a projeção da superfície no plano é um círculo de raio 3 (pois implica ). Usaremos a coordenação polar para facilitar a integração.

Passo 6

Em coordenadas polares, dS = raiz1 + (partial zpartial x)^2 + (partial zpartial y)^2 , r , dr , dtheta = raiz1 + 4x^2 + 4y^2 , r , dr , dtheta e dS = raiz1 + 4r^2 , r , dr , dtheta , com indo de 0 a 3 e de 0 a . A área diferencial para o paraboloide é:
Substituindo e por coordenadas polares:

Passo 7

Agora, substituímos na integral:
integral duplaS (2, 3, 4) cdot (2x, 2y, 1) , dS = integral duplaS (4x + 6y + 4) , dS
Em coordenadas polares:
4x + 6y + 4 = 4rcostheta + 6rsintheta + 4
Portanto, a integral fica:
integral0^2pi integral0^3 (4rcostheta + 6rsintheta + 4) raiz1 + 4r^2 , r , dr , dtheta

Passo 8

Observamos que as integrais de 4 integral0^2pi integral0^3 raiz1 + 4r^2 , r , dr , dtheta = 4 cdot 2pi cdot integral0^3 r raiz1 + 4r^2 , dr e sobre a são zero, pois são funções ímpares em . Assim, a única parte que contribui é a integral de 4:

Passo 9

Vamos calcular a integral em integral r raiz1 + 4r^2 , dr :
18 integral raizu , du = 18 cdot 23 u^3/2 + C = 112 (1 + 4r^2)^3/2 + C
Fazendo a substituição 112 [(1 + 4 cdot 9)^3/2 - (1 + 0)^3/2] = 112 [37^3/2 - 1] , então ou . A integral torna-se:
Avaliado de 0 a 3:

Passo 10

Substituindo de volta na expressão total:
4 cdot 2pi cdot 112 (37^3/2 - 1) = 8pi12 (37^3/2 - 1) = 2pi3 (37^3/2 - 1)
Calculando 37^3/2 = 37 raiz37 approx 37 cdot 6,08276 approx 224,054 :
2pi3 (224,054 - 1) = 2pi3 cdot 223,054 approx 2 cdot 3,14163 cdot 223,054 approx 2,0944 cdot 223,054 approx 467,55
Portanto:

Resposta

ointC f cdot d r approx 467,55

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