Calcule
, onde
e
é a região triangular com vértices
e
.
Passo 1
Ok, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla de uma função
sobre uma superfície
que é um triângulo com vértices nos pontos
,
e
. O conteúdo envolvido aqui é cálculo de integrais de superfície em três dimensões. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a superfície e calcular a integral dupla usando essa parametrização.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual é a superfície
. Os vértices dados estão no espaço tridimensional e formam um triângulo no plano
. Esse é um plano inclinado que corta os eixos
,
e
nos pontos
,
e
, respectivamente.
Passo 3
Para calcular a integral dupla sobre a superfície
, precisamos parametrizar
. Uma maneira comum de parametrizar um triângulo nesse plano é utilizando coordenadas barycentricas ou simplesmente definir duas variáveis, digamos
e
, que variam entre 0 e 1 de forma que
.
Então, podemos expressar
,
e
em termos de
e
da seguinte forma:
Aqui,
e
são as coordenadas que percorrem todo o triângulo
.
Passo 4
Agora, precisamos calcular o elemento de área
na parametrização escolhida. Para isso, calculamos o vetor normal à superfície utilizando o produto vetorial das derivadas parciais da parametrização em relação a
e
.
Calculando as derivadas:
O produto vetorial desses vetores é:
O módulo desse vetor é
, então:
Passo 5
Agora, substituímos a função
na integral. Como
, temos:
Onde
é a região no plano
definida por
,
e
.
Passo 6
Vamos calcular a integral dupla:
Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, expandimos e integramos em relação a
:
Resposta
Exercícios relacionados
Seja
a superfície de equação
. Sabendo-se que a área de
vale
, determine o valor de
.
Parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:
: parte da esfera
, que fica acima do plano
.
Calcule a massa da superfície
parte do plano
dentro do cilindro
, sendo a densidade dada por
.
Seja
a superfície de rotação obtida girando
em torno do eixo
. Calcule a massa de
, sabendo que a densidade em cada ponto é proporcional à distância do ponto ao eixo
.