Calcule , onde
e é a região triangular com vértices e .

Passo 1

Ok, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla de uma função sobre uma superfície que é um triângulo com vértices nos pontos , e . O conteúdo envolvido aqui é cálculo de integrais de superfície em três dimensões. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a superfície e calcular a integral dupla usando essa parametrização.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é a superfície . Os vértices dados estão no espaço tridimensional e formam um triângulo no plano . Esse é um plano inclinado que corta os eixos , e nos pontos , e , respectivamente.

Passo 3

Para calcular a integral dupla sobre a superfície , precisamos parametrizar . Uma maneira comum de parametrizar um triângulo nesse plano é utilizando coordenadas barycentricas ou simplesmente definir duas variáveis, digamos e , que variam entre 0 e 1 de forma que .
Então, podemos expressar , e em termos de e da seguinte forma:
Aqui, e são as coordenadas que percorrem todo o triângulo .

Passo 4

Agora, precisamos calcular o elemento de área na parametrização escolhida. Para isso, calculamos o vetor normal à superfície utilizando o produto vetorial das derivadas parciais da parametrização em relação a e .
Calculando as derivadas:
O produto vetorial desses vetores é:
O módulo desse vetor é , então:

Passo 5

Agora, substituímos a função na integral. Como , temos:
Onde é a região no plano definida por , e .

Passo 6

Vamos calcular a integral dupla:
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, expandimos e integramos em relação a :

Resposta

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Seja a superfície de equação . Sabendo-se que a área de vale , determine o valor de .
Parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:
: parte da esfera , que fica acima do plano .
Calcule a massa da superfície parte do plano dentro do cilindro , sendo a densidade dada por .
Seja a superfície de rotação obtida girando em torno do eixo . Calcule a massa de , sabendo que a densidade em cada ponto é proporcional à distância do ponto ao eixo .