Calcule integral duplaS f(x, y, z) d S, onde
f(x, y, z)=x e S é a região triangular com vértices (1,0,0),(0,1,0) e (0,0,1).

Passo 1

Ok, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla de uma função sobre uma superfície que é um triângulo com vértices nos pontos , e . O conteúdo envolvido aqui é cálculo de integrais de superfície em três dimensões. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a superfície e calcular a integral dupla usando essa parametrização.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é a superfície . Os vértices dados estão no espaço tridimensional e formam um triângulo no plano . Esse é um plano inclinado que corta os eixos , e nos pontos , e , respectivamente.

Passo 3

Para calcular a integral dupla sobre a superfície x = u, y = v, z = 1 - u - v , precisamos parametrizar . Uma maneira comum de parametrizar um triângulo nesse plano é utilizando coordenadas barycentricas ou simplesmente definir duas variáveis, digamos e , que variam entre 0 e 1 de forma que .
Então, podemos expressar , e em termos de e da seguinte forma:
Aqui, e são as coordenadas que percorrem todo o triângulo .

Passo 4

Agora, precisamos calcular o elemento de área partial rpartial u = (1, 0, -1) na parametrização escolhida. Para isso, calculamos o vetor normal à superfície utilizando o produto vetorial das derivadas parciais da parametrização em relação a partial rpartial v = (0, 1, -1) e partial rpartial u times partial rpartial v = (1, 1, 1) .
Calculando as derivadas:
dS = raiz3 , du , dv
O produto vetorial desses vetores é:
O módulo desse vetor é , então:

Passo 5

Agora, substituímos a função integral duplaS f(x, y, z) , dS = integral duplaD u cdot raiz3 , du , dv na integral. Como , temos:
Onde é a região no plano definida por , e .

Passo 6

Vamos calcular a integral dupla:
integral duplaD u cdot raiz3 , du , dv = raiz3 integralu=0^1 integralv=0^1 - u u , dv , du
Primeiro, integramos em relação a raiz3 integral0^1 [ u cdot v ]0^1 - u , du = raiz3 integral0^1 u(1 - u) , du :
raiz3 integral0^1 (u - u^2) , du = raiz3 [ u^22 - u^33 ]0^1 = raiz3 ( 12 - 13 ) = raiz3 ( 16 ) = raiz36
Agora, expandimos e integramos em relação a :

Resposta

integral duplaS f(x, y, z) , dS = raiz36

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