Calcule a integral , onde e é a superfície da região limitada pelo cilindro e pelos planos e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra calcular a integral de superfície da função vetorial sobre a superfície . Essa superfície é limitada pelo cilindro e pelos planos e . Vamos usar o Teorema da Divergência para facilitar essa integral. Esse teorema conecta a integral de superfície com a integral volumétrica, o que pode simplificar bastante nossos cálculos.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular a divergência de . A divergência é uma operação que soma as derivadas parciais dos componentes da função vetorial:
Vamos calcular cada derivada separadamente.
Passo 3
Calculando cada termo:
porque a derivada de é e a derivada de em relação a é zero (já que e são constantes em relação a ).
porque a derivada de é 1 e a derivada de em relação a é zero.
porque a derivada de é .
Então, a divergência fica:
Passo 4
Agora, aplicando o Teorema da Divergência, a integral de superfície se transforma na integral volumétrica da divergência sobre o volume limitado por :
Vamos parametrizar o volume . Como a base é um cilindro de raio 2 () e os limites em são entre e (a partir do plano ), podemos usar coordenadas cilíndricas para facilitar.
Passo 5
Em coordenadas cilíndricas, temos:
O volume está limitado por de 0 a 2, de 0 a , e de 0 a . Porém, precisamos garantir que seja positivo, então consideramos apenas os onde é negativo (ou seja, entre e ).
Passo 6
A integral se torna:
Aqui, o termo extra aparece por conta do Jacobiano das coordenadas cilíndricas.