Calcule a integral integral duplaS F d S, onde F(x, y, z)=(x^2+sen(y z), y-x e^-z, z^2) e S é a superfície da região limitada pelo cilindro x^2+y^2=4 e pelos planos x+z=0 e z=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra calcular a integral de superfície da função vetorial sobre a superfície . Essa superfície é limitada pelo cilindro e pelos planos e . Vamos usar o Teorema da Divergência para facilitar essa integral. Esse teorema conecta a integral de superfície com a integral volumétrica, o que pode simplificar bastante nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a divergência de div,F = partialpartial x(x^2 + sin(yz)) + partialpartial y(y - x e^-z) + partialpartial z(z^2) . A divergência é uma operação que soma as derivadas parciais dos componentes da função vetorial:
Vamos calcular cada derivada separadamente.

Passo 3

Calculando cada termo:
  1. div,F = 2x + 1 + 2z porque a derivada de é e a derivada de em relação a é zero (já que e são constantes em relação a ).
  2. porque a derivada de é 1 e a derivada de em relação a é zero.
  3. porque a derivada de é .
Então, a divergência fica:

Passo 4

Agora, aplicando o Teorema da Divergência, a integral de superfície se transforma na integral volumétrica da divergência sobre o volume integral duplaS F cdot dS = integral triplaV div,F , dV = integral triplaV (2x + 1 + 2z) , dV limitado por :
Vamos parametrizar o volume . Como a base é um cilindro de raio 2 ( ) e os limites em são entre e (a partir do plano ), podemos usar coordenadas cilíndricas para facilitar.

Passo 5

Em coordenadas cilíndricas, temos:
x = r costheta, y = r sintheta, z = z
O volume está limitado por de 0 a 2, de 0 a , e de 0 a . Porém, precisamos garantir que seja positivo, então consideramos apenas os onde é negativo (ou seja, entre e ).

Passo 6

A integral se torna:
integral triplaV (2x + 1 + 2z) , dV = integral0^2pi integral0^2 integral0^-r costheta (2r costheta + 1 + 2z) , r, dz, dr, dtheta
Aqui, o termo extra aparece por conta do Jacobiano das coordenadas cilíndricas.

Passo 7

Vamos integrar em relação a integral0^-r costheta (2r costheta + 1 + 2z) , dz = [ (2r costheta + 1)z + z^2 ]0^-r costheta primeiro:
= (2r costheta + 1)(-r costheta) + (-r costheta)^2 - 0 = -2r^2 cos^2theta - r costheta + r^2 cos^2theta = -r^2 cos^2theta - r costheta
Substituindo os limites:

Passo 8

Agora, a integral fica:
integral0^2pi integral0^2 (-r^2 cos^2theta - r costheta ) r, dr, dtheta = integral0^2pi integral0^2 (-r^3 cos^2theta - r^2 costheta ) dr, dtheta
Integrando em relação a integral0^2 (-r^3 cos^2theta - r^2 costheta ) dr = [ -r^44 cos^2theta - r^33 costheta ]0^2 = -164 cos^2theta - 83 costheta = -4 cos^2theta - 83 costheta :

Passo 9

Agora, a integral em integral0^2pi (-4 cos^2theta - 83 costheta ) dtheta = -4 integral0^2pi cos^2theta , dtheta - 83 integral0^2pi costheta , dtheta é:
integral0^2pi cos^2theta , dtheta = pi
Sabemos que:
integral0^2pi costheta , dtheta = 0
e
-4 pi - 83 times 0 = -4pi
Então,

Resposta

A integral de superfície é igual a .

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