Calcule a integral
, onde
e
é a superfície da região limitada pelo cilindro
e pelos planos
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra calcular a integral de superfície da função vetorial
sobre a superfície
. Essa superfície é limitada pelo cilindro
e pelos planos
e
. Vamos usar o Teorema da Divergência para facilitar essa integral. Esse teorema conecta a integral de superfície com a integral volumétrica, o que pode simplificar bastante nossos cálculos.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular a divergência de
. A divergência é uma operação que soma as derivadas parciais dos componentes da função vetorial:
Vamos calcular cada derivada separadamente.
Passo 3
Calculando cada termo:
-
porque a derivada de é e a derivada de em relação a é zero (já que e são constantes em relação a ). -
porque a derivada de é 1 e a derivada de em relação a é zero. -
porque a derivada de é .
Então, a divergência fica:
Passo 4
Agora, aplicando o Teorema da Divergência, a integral de superfície se transforma na integral volumétrica da divergência sobre o volume
limitado por
:
Vamos parametrizar o volume
. Como a base é um cilindro de raio 2 (
) e os limites em
são entre
e
(a partir do plano
), podemos usar coordenadas cilíndricas para facilitar.
Passo 5
Em coordenadas cilíndricas, temos:
O volume
está limitado por
de 0 a 2,
de 0 a
, e
de 0 a
. Porém, precisamos garantir que
seja positivo, então consideramos apenas os
onde
é negativo (ou seja,
entre
e
).
Passo 6
A integral se torna:
Aqui, o termo extra
aparece por conta do Jacobiano das coordenadas cilíndricas.
Passo 7
Vamos integrar em relação a
primeiro:
Substituindo os limites:
Passo 8
Agora, a integral fica:
Integrando em relação a
:
Passo 9
Agora, a integral em
é:
Sabemos que:
e
Então,
Resposta
A integral de superfície
é igual a
.