Calcule a integral , onde e é a superfície da região limitada pelo cilindro e pelos planos e

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra calcular a integral de superfície da função vetorial sobre a superfície . Essa superfície é limitada pelo cilindro e pelos planos e . Vamos usar o Teorema da Divergência para facilitar essa integral. Esse teorema conecta a integral de superfície com a integral volumétrica, o que pode simplificar bastante nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a divergência de . A divergência é uma operação que soma as derivadas parciais dos componentes da função vetorial:
Vamos calcular cada derivada separadamente.

Passo 3

Calculando cada termo:
  1. porque a derivada de é e a derivada de em relação a é zero (já que e são constantes em relação a ).
  2. porque a derivada de é 1 e a derivada de em relação a é zero.
  3. porque a derivada de é .
Então, a divergência fica:

Passo 4

Agora, aplicando o Teorema da Divergência, a integral de superfície se transforma na integral volumétrica da divergência sobre o volume limitado por :
Vamos parametrizar o volume . Como a base é um cilindro de raio 2 ( ) e os limites em são entre e (a partir do plano ), podemos usar coordenadas cilíndricas para facilitar.

Passo 5

Em coordenadas cilíndricas, temos:
O volume está limitado por de 0 a 2, de 0 a , e de 0 a . Porém, precisamos garantir que seja positivo, então consideramos apenas os onde é negativo (ou seja, entre e ).

Passo 6

A integral se torna:
Aqui, o termo extra aparece por conta do Jacobiano das coordenadas cilíndricas.

Passo 7

Vamos integrar em relação a primeiro:
Substituindo os limites:

Passo 8

Agora, a integral fica:
Integrando em relação a :

Passo 9

Agora, a integral em é:
Sabemos que:
e
Então,

Resposta

A integral de superfície é igual a .

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