Seja uma superfície que limita a região e o campo constante fixado. Mostre que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a integral de superfície de um campo constante sobre uma superfície que limita uma região é igual a zero. A matéria que vamos usar aqui é o Teorema da Divergência, que relaciona uma integral de superfície com uma integral de volume. Pra resolver, vamos precisar entender o que é divergência e como aplicar esse teorema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele diz que:
Ou seja, a integral de superfície do campo sobre é igual à integral de volume da divergência de na região .

Passo 3

Agora, como o campo é constante, ou seja, onde é um vetor fixo em , vamos calcular a divergência de .
A divergência de um campo constante é sempre zero, porque não há variação do campo em nenhuma direção. Matemáticamente:

Passo 4

Com a divergência sendo zero, voltamos ao Teorema da Divergência:
Então, a integral de superfície de sobre é igual a zero.

Resposta

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