Seja S subset R^3 uma superfície que limita a região Omega e F: Omega R^3 o campo constante F(x, y, z)= a in R^3 fixado. Mostre que integral duplaS F d S=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a integral de superfície de um campo constante F sobre uma superfície S que limita uma região Omega é igual a zero. A matéria que vamos usar aqui é o Teorema da Divergência, que relaciona uma integral de superfície com uma integral de volume. Pra resolver, vamos precisar entender o que é divergência e como aplicar esse teorema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele diz que:
integral duplaS F cdot dS = integral triplaOmega nabla cdot F , dV
Ou seja, a integral de superfície do campo F sobre S é igual à integral de volume da divergência de F na região Omega.

Passo 3

Agora, como o campo F é constante, ou seja, F(x, y, z) = a onde a é um vetor fixo em R^3, vamos calcular a divergência de F.
A divergência de um campo constante é sempre zero, porque não há variação do campo em nenhuma direção. Matemáticamente:
nabla cdot F = nabla cdot a = 0

Passo 4

Com a divergência sendo zero, voltamos ao Teorema da Divergência:
integral duplaS F cdot dS = integral triplaOmega 0 , dV = 0
Então, a integral de superfície de F sobre S é igual a zero.

Resposta

integral duplaS F cdot dS = 0

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