Determine o fluxo do campo vetorial através da esfera de raio centrada na origem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o fluxo do campo vetorial através de uma esfera de raio centrada na origem. Isso está relacionado ao estudo do fluxo em campos vetoriais, que é parte do cálculo vetorial. Para resolver isso, vamos precisar usar o teorema da divergência, que facilita muito o cálculo desse tipo de fluxo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede a quantidade de campo que “passa” por essa superfície. Matematicamente, é representado por:
Onde:
  • é o campo vetorial.
  • é a superfície.
  • é um elemento de área da superfície com orientação normal.

Passo 3

Calcular esse fluxo diretamente pode ser complicado, mas o teorema da divergência simplifica bastante. O teorema afirma que:
Aqui, é o volume limitado pela superfície , e é a divergência de .

Passo 4

Vamos calcular a divergência de :
A divergência é dada por:
Calculando cada termo:
Então:

Passo 5

Agora, aplicando o teorema da divergência:
A esfera de raio tem volume:
Então:

Resposta

O fluxo do campo vetorial através da esfera de raio centrada na origem é .

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