Seja
união de duas superfícies,
e
, onde
é o conjunto dos pontos
com
, e
é o conjunto dos pontos
tal que
. Seja
. Calcule
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma superfície
que é formada pela união de duas partes:
e
. A
é um cilindro vertical com raio 1, que vai do
até
. Já a
é uma esfera de raio 1 centrada em
, mas só a parte de cima dessa esfera, ou seja, para
. O que precisamos calcular é a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial
sobre essa superfície
. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Stokes ou o Teorema da Divergência, que conectam integrais de superfície com integrais de volume ou de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o rotacional de um campo vetorial
, denotado por
ou
, mede a tendência de
de girar em torno de cada ponto. A integral que a gente precisa calcular é:
Isso representa o fluxo do rotacional de
através da superfície
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar do Teorema da Divergência, que relaciona a integral de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a integral da divergência desse campo sobre o volume limitado pela superfície. Porém, nosso caso é um pouco diferente porque estamos lidando com o rotacional de
.
Uma propriedade importante é que a divergência do rotacional de qualquer campo vetorial é sempre zero:
Passo 4
Usando o Teorema da Divergência aplicado ao rotacional de
, temos:
Onde
é o volume limitado pela superfície
. Como a divergência do rotacional é zero, a integral de fluxo também será zero.
Resposta
Exercícios relacionados
Seja
uma superfície que limita a região
e
o campo constante
fixado. Mostre que
Calcule a integral
, onde
e
é a superfície da região limitada pelo cilindro
e pelos planos
e
Seja
. Ache
, tal que
.
Calcule o reolume do sólido dado
a) Limtado pela Heperbobraide
eplo plana
a) Limtado pela Heperbobraide