Seja união de duas superfícies, e , onde é o conjunto dos pontos com , e é o conjunto dos pontos tal que . Seja . Calcule

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma superfície que é formada pela união de duas partes: e . A é um cilindro vertical com raio 1, que vai do até . Já a é uma esfera de raio 1 centrada em , mas só a parte de cima dessa esfera, ou seja, para . O que precisamos calcular é a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial sobre essa superfície . Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Stokes ou o Teorema da Divergência, que conectam integrais de superfície com integrais de volume ou de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o rotacional de um campo vetorial , denotado por ou , mede a tendência de de girar em torno de cada ponto. A integral que a gente precisa calcular é:
Isso representa o fluxo do rotacional de através da superfície .

Passo 3

Agora, vamos lembrar do Teorema da Divergência, que relaciona a integral de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a integral da divergência desse campo sobre o volume limitado pela superfície. Porém, nosso caso é um pouco diferente porque estamos lidando com o rotacional de .
Uma propriedade importante é que a divergência do rotacional de qualquer campo vetorial é sempre zero:

Passo 4

Usando o Teorema da Divergência aplicado ao rotacional de , temos:
Onde é o volume limitado pela superfície . Como a divergência do rotacional é zero, a integral de fluxo também será zero.

Resposta

Exercícios relacionados

Seja uma superfície que limita a região e o campo constante fixado. Mostre que
Calcule a integral , onde e é a superfície da região limitada pelo cilindro e pelos planos e
Seja . Ache , tal que .
Calcule o reolume do sólido dado
a) Limtado pela Heperbobraide
eplo plana