Seja S união de duas superfícies, S1 e S2, onde S1 é o conjunto dos pontos (x, y, z) com x^2+y^2=1,0 <= z <= 1, e S2 é o conjunto dos pontos (x, y, z) tal que x^2+y^2+(z-1)^2=1 z >= 1. Seja F(x, y, z)=(z x+z^2 y+x) i+(z^3 y x+y) j+z^4 x^2 k. Calcule
integral duplaSlang<=rot F, nrang<= d S

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma superfície que é formada pela união de duas partes: e . A é um cilindro vertical com raio 1, que vai do até . Já a é uma esfera de raio 1 centrada em , mas só a parte de cima dessa esfera, ou seja, para . O que precisamos calcular é a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial sobre essa superfície . Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Stokes ou o Teorema da Divergência, que conectam integrais de superfície com integrais de volume ou de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o rotacional de um campo vetorial integral duplaSlang<=rot F, nrang<= dS , denotado por ou , mede a tendência de de girar em torno de cada ponto. A integral que a gente precisa calcular é:
Isso representa o fluxo do rotacional de através da superfície .

Passo 3

Agora, vamos lembrar do Teorema da Divergência, que relaciona a integral de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a integral da divergência desse campo sobre o volume limitado pela superfície. Porém, nosso caso é um pouco diferente porque estamos lidando com o rotacional de nabla cdot (nabla times F) = 0 .
Uma propriedade importante é que a divergência do rotacional de qualquer campo vetorial é sempre zero:

Passo 4

Usando o Teorema da Divergência aplicado ao rotacional de integral duplaSlang<=rot F, nrang<= dS = integral triplaV nabla cdot (nabla times F) dV = integral triplaV 0 , dV = 0 , temos:
Onde é o volume limitado pela superfície . Como a divergência do rotacional é zero, a integral de fluxo também será zero.

Resposta

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