Prove as identidades de Green.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é provar uma identidade chamada Identidade de Green. Essa identidade relaciona integrais duplas sobre a fronteira de uma região com integrais triplas dentro dessa região. Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Vetorial, como gradiente, divergente e Laplaciano. Precisamos entender como transformar a integral de superfície em uma integral de volume usando essas ferramentas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os termos da equação que precisamos provar:
Aqui, é a fronteira da região , é o vetor normal à superfície, e são os gradientes das funções e , respectivamente, e e são os Laplacianos dessas funções.

Passo 3

Vamos começar aplicando o Teorema da Divergência, que relaciona uma integral de superfície com uma integral de volume. O teorema diz que para qualquer vetor :
Nosso objetivo é escrever a expressão dentro da integral de superfície como o divergente de algum vetor.

Passo 4

Observando a expressão:
Podemos pensar em um vetor tal que:
Então, a expressão dentro da integral de superfície é .

Passo 5

Agora, aplicando o Teorema da Divergência à :
Nosso próximo passo é calcular o divergente de , ou seja, .

Passo 6

Calculando :
Note que os termos e se cancelam.

Passo 7

Simplificando, temos:
Onde é o Laplaciano de .

Resposta

Portanto, ao aplicar o Teorema da Divergência e calcular o divergente de , chegamos à identidade de Green:

Exercícios relacionados

Determine o fluxo do campo vetorial através da esfera de raio centrada na origem.
Prove as identidades de Green.
Calcule a integral , onde e é a superfície da região limitada pelo cilindro e pelos planos e
Seja uma superfície que limita a região e o campo constante fixado. Mostre que