Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é provar uma identidade chamada Identidade de Green. Essa identidade relaciona integrais duplas sobre a fronteira de uma região com integrais triplas dentro dessa região. Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Vetorial, como gradiente, divergente e Laplaciano. Precisamos entender como transformar a integral de superfície em uma integral de volume usando essas ferramentas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os termos da equação que precisamos provar:
integral duplapartial W(flang<=nabla g, nrang<= - glang<=nabla f, nrang<=) dS = integral triplaW(f De
Aqui, é a fronteira da região , é o vetor normal à superfície, e são os gradientes das funções e , respectivamente, e e são os Laplacianos dessas funções.
Passo 3
Vamos começar aplicando o Teorema da Divergência, que relaciona uma integral de superfície com uma integral de volume. O teorema diz que para qualquer vetor integral duplapartial W lang<= F, n rang<= dS = integral triplaW nabla cdot F , dV :
Nosso objetivo é escrever a expressão dentro da integral de superfície como o divergente de algum vetor.
Passo 4
Observando a expressão:
flang<=nabla g, nrang<= - glang<=nabla f, nrang<=
Podemos pensar em um vetor F = f nabla g - g nabla f tal que:
Então, a expressão dentro da integral de superfície é .
Passo 5
Agora, aplicando o Teorema da Divergência à integral duplapartial W lang<= F, n rang<= dS = integral triplaW nabla cdot F , dV :
Nosso próximo passo é calcular o divergente de , ou seja, .
Passo 6
Calculando nabla cdot F = nabla cdot (f nabla g - g nabla f) = f nabla cdot nabla g + nabla f cdot nabla g - g nabla cdot nabla f - nabla g cdot nabla f :
Note que os termos e se cancelam.
Passo 7
Simplificando, temos:
nabla cdot F = f De
Onde é o Laplaciano de .
Resposta
Portanto, ao aplicar o Teorema da Divergência e calcular o divergente de integral duplapartial W(flang<=nabla g, nrang<= - glang<=nabla f, nrang<=) dS = integral triplaW(f De, chegamos à identidade de Green: