Calcule
onde
é o cilindro
, com
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de superfície
. Aqui,
é o cilindro definido pela equação
e limitado entre
e
. Vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais de superfície. Primeiro, vamos entender como parametrizar o cilindro e depois calcular a integral passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o cilindro
. Uma maneira comum de fazer isso é usar coordenadas cilíndricas, onde:
Aqui,
varia de
a
para cobrir toda a circunferência do cilindro, e
varia de
a
conforme dado no enunciado.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o elemento de área
na parametrização escolhida. Em coordenadas cilíndricas, para um cilindro com raio constante
, o elemento de área lateral é:
Isso porque a área lateral de um cilindro é a circunferência multiplicada pela altura infinitesimal.
Passo 4
Substituindo
na integral, temos:
Simplificando a expressão:
Passo 5
Vamos integrar em relação a
primeiro. Sabemos que:
Isso porque
e a integral de
sobre um período completo é zero.
Passo 6
Agora, substituindo o resultado da integral de
:
Integrando em relação a
:
Resposta
A integral de superfície
vale
.
Exercícios relacionados
Seja
a superfície obtida girando-se o segmento de reta de
a
em torno do eixo
. (b) Calcule a área de
.
Esboce e parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros. ©
.
Determine o domínio da função (Faça o esboço do domínio)
Descreva as curvas de nível ou superfície de nível da função e no caso de
esboce o gráfico