Calcule
integral duplaS x^2 d S
onde S é o cilindro x^2+y^2=a^2, com 0 <= z <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de superfície . Aqui, é o cilindro definido pela equação e limitado entre e . Vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais de superfície. Primeiro, vamos entender como parametrizar o cilindro e depois calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o cilindro x = a cos theta, y = a sin theta, z = z . Uma maneira comum de fazer isso é usar coordenadas cilíndricas, onde:
Aqui, varia de a para cobrir toda a circunferência do cilindro, e varia de a conforme dado no enunciado.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o elemento de área dS = a , dtheta , dz na parametrização escolhida. Em coordenadas cilíndricas, para um cilindro com raio constante , o elemento de área lateral é:
Isso porque a área lateral de um cilindro é a circunferência multiplicada pela altura infinitesimal.

Passo 4

Substituindo integral duplaS x^2 , dS = integral0^1 integral0^2pi (a cos theta)^2 cdot a , dtheta , dz na integral, temos:
= a^3 integral0^1 integral0^2pi cos^2 theta , dtheta , dz
Simplificando a expressão:

Passo 5

Vamos integrar em relação a integral0^2pi cos^2 theta , dtheta = pi primeiro. Sabemos que:
Isso porque e a integral de sobre um período completo é zero.

Passo 6

Agora, substituindo o resultado da integral de a^3 integral0^1 pi , dz = a^3 pi integral0^1 dz :
= a^3 pi [z]0^1 = a^3 pi (1 - 0) = a^3 pi
Integrando em relação a :

Resposta

A integral de superfície vale .

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