Calcule
onde é o cilindro , com .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de superfície . Aqui, é o cilindro definido pela equação e limitado entre e . Vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais de superfície. Primeiro, vamos entender como parametrizar o cilindro e depois calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o cilindro . Uma maneira comum de fazer isso é usar coordenadas cilíndricas, onde:
Aqui, varia de a para cobrir toda a circunferência do cilindro, e varia de a conforme dado no enunciado.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o elemento de área na parametrização escolhida. Em coordenadas cilíndricas, para um cilindro com raio constante , o elemento de área lateral é:
Isso porque a área lateral de um cilindro é a circunferência multiplicada pela altura infinitesimal.

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
Simplificando a expressão:

Passo 5

Vamos integrar em relação a primeiro. Sabemos que:
Isso porque e a integral de sobre um período completo é zero.

Passo 6

Agora, substituindo o resultado da integral de :
Integrando em relação a :

Resposta

A integral de superfície vale .

Exercícios relacionados

Seja a superfície obtida girando-se o segmento de reta de a em torno do eixo . (b) Calcule a área de .
Esboce e parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros. © .
Determine o domínio da função (Faça o esboço do domínio)
Descreva as curvas de nível ou superfície de nível da função e no caso de esboce o gráfico