Resolva cada um dos problemas de valor inicial abaixo.
.

Passo 1

Beleza, temos um problema de valor inicial aqui. A gente precisa resolver a seguinte equação diferencial:
Isso significa que vamos encontrar a função que satisfaz essa equação e que passa pelo ponto com . Para resolver isso, vamos usar técnicas de resolver equações diferenciais de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar . Vamos deixar os termos com de um lado e os demais do outro:
Agora, vamos dividir ambos os lados por para obter sozinho:

Passo 3

Observando a equação, percebemos que ela pode ser simplificada. Vamos tentar fatorar o numerador e o denominador:
Agora, podemos simplificar cancelando o termo do numerador e denominador:
Portanto, a equação diferencial simplificada é:

Passo 4

Agora, temos uma equação diferencial separável, que pode ser escrita como:
Vamos separar as variáveis e :

Passo 5

Integrando ambos os lados para encontrar :
As integrais resultam em:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos resolver para . Primeiro, aplicamos as propriedades dos logaritmos:
Podemos reescrever isso como:
onde é uma nova constante.

Passo 7

Agora, tiramos o logaritmo para eliminar o logaritmo natural:
Podemos eliminar as barras de valor absoluto considerando que pode ser positivo ou negativo:

Passo 8

Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante :

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:

Exercícios relacionados

Determine se cada uma das equações abaixo é exata ou não. Se for exata, encontre sua solução (implicitamente).
.
Determine a ordem das equações diferenciais abaixo:
;
(Equação de Bernoulli) Fazendo a mudança de variáveis , resolva os itens abaixo.
.
Calcule , onde , onde é a superfície do sólido limitado pelo paraboloide e pelo plano .