Resolva cada um dos problemas de valor inicial abaixo.
.
Passo 1
Beleza, temos um problema de valor inicial aqui. A gente precisa resolver a seguinte equação diferencial:
Isso significa que vamos encontrar a função
que satisfaz essa equação e que passa pelo ponto
com
. Para resolver isso, vamos usar técnicas de resolver equações diferenciais de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar
. Vamos deixar os termos com
de um lado e os demais do outro:
Agora, vamos dividir ambos os lados por
para obter
sozinho:
Passo 3
Observando a equação, percebemos que ela pode ser simplificada. Vamos tentar fatorar o numerador e o denominador:
Agora, podemos simplificar cancelando o termo
do numerador e denominador:
Portanto, a equação diferencial simplificada é:
Passo 4
Agora, temos uma equação diferencial separável, que pode ser escrita como:
Vamos separar as variáveis
e
:
Passo 5
Integrando ambos os lados para encontrar
:
As integrais resultam em:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos resolver para
. Primeiro, aplicamos as propriedades dos logaritmos:
Podemos reescrever isso como:
onde
é uma nova constante.
Passo 7
Agora, tiramos o logaritmo para eliminar o logaritmo natural:
Podemos eliminar as barras de valor absoluto considerando que
pode ser positivo ou negativo:
Passo 8
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
Exercícios relacionados
Determine se cada uma das equações abaixo é exata ou não. Se for exata, encontre sua solução (implicitamente).
.
Determine a ordem das equações diferenciais abaixo:
;
(Equação de Bernoulli) Fazendo a mudança de variáveis
, resolva os itens abaixo.
.
Calcule
, onde
, onde
é a superfície do sólido limitado pelo paraboloide
e pelo plano
.