Determine se cada uma das funções abaixo são bijetoras de
para
:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Queremos saber se a função
é bijetora de
para
. Bijetora significa que a função é injetora (cada elemento do domínio mapeia para um único elemento no contradomínio) e sobrejetora (todo elemento do contradomínio tem pelo menos um elemento no domínio que mapeia para ele). Então, vamos precisar verificar esses dois aspectos para determinar se a função é bijetora.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função é injetora. Uma função é injetora se, sempre que
, então
. Vamos supor que
:
Multiplicando em cruz para eliminar as frações:
Expandindo ambos os lados:
Subtraindo
de ambos os lados:
Rearranjando:
Como chegamos a
a partir de
, a função é injetora.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se, para todo
em
, existe um
em
tal que
. Vamos resolver a equação
para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Distribuindo
:
Rearranjando para isolar
:
Fatorando
:
Finalmente, resolvendo para
:
Isso significa que, para qualquer
real diferente de 1 (porque o denominador não pode ser zero), existe um
que satisfaz a equação. Porém, se
:
O que é impossível. Portanto, a função não atinge o valor
.
Resposta
A função
é injetora, mas não sobrejetora, já que não atinge o valor 1. Portanto, não é bijetora de
para
.