Determine se cada uma das funções abaixo são bijetoras de para :

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Queremos saber se a função é bijetora de para . Bijetora significa que a função é injetora (cada elemento do domínio mapeia para um único elemento no contradomínio) e sobrejetora (todo elemento do contradomínio tem pelo menos um elemento no domínio que mapeia para ele). Então, vamos precisar verificar esses dois aspectos para determinar se a função é bijetora.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é injetora. Uma função é injetora se, sempre que , então . Vamos supor que :
Multiplicando em cruz para eliminar as frações:
Expandindo ambos os lados:
Subtraindo de ambos os lados:
Rearranjando:
Como chegamos a a partir de , a função é injetora.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se, para todo em , existe um em tal que . Vamos resolver a equação para :
Multiplicando ambos os lados por :
Distribuindo :
Rearranjando para isolar :
Fatorando :
Finalmente, resolvendo para :
Isso significa que, para qualquer real diferente de 1 (porque o denominador não pode ser zero), existe um que satisfaz a equação. Porém, se :
O que é impossível. Portanto, a função não atinge o valor .

Resposta

A função é injetora, mas não sobrejetora, já que não atinge o valor 1. Portanto, não é bijetora de para .

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