Determine se cada uma das funções abaixo, do conjunto {a, b, c, d} para ele mesmo é injetora:
f(a)=b, f(b)=b, f(c)=d, f(d)=c

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função definida no conjunto que mapeia cada elemento de volta para ele mesmo, mas com algumas trocas. O objetivo é descobrir se essa função é injetora. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser injetora e depois verificar se a função dada atende a esse critério.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função injetora. Uma função é chamada de injetora se, sempre que , então necessariamente . Em outras palavras, cada elemento do conjunto de chegada é imagem de no máximo um elemento do conjunto de partida . Isso evita que dois elementos diferentes de apontem para o mesmo elemento em .

Passo 3

Agora, vamos olhar para a função que foi dada:
Vamos verificar se há algum valor que está sendo mapeado para o mesmo elemento por mais de um elemento do domínio.

Passo 4

Observando as imagens:
Percebemos que tanto quanto resultam em . Isso significa que dois elementos diferentes ( e ) estão sendo mapeados para o mesmo elemento em , que é .

Passo 5

De acordo com a definição de função injetora, se dois elementos diferentes do domínio apontam para o mesmo elemento no contradomínio, a função não é injetora. Como vimos que e , isso viola a condição de injetividade.

Resposta

Portanto, a função dada não é injetora porque os elementos e têm a mesma imagem .

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