Determine se cada uma das funções abaixo, do conjunto
para ele mesmo é injetora:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função definida no conjunto
que mapeia cada elemento de volta para ele mesmo, mas com algumas trocas. O objetivo é descobrir se essa função é injetora. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser injetora e depois verificar se a função dada atende a esse critério.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função injetora. Uma função
é chamada de injetora se, sempre que
, então necessariamente
. Em outras palavras, cada elemento do conjunto de chegada
é imagem de no máximo um elemento do conjunto de partida
. Isso evita que dois elementos diferentes de
apontem para o mesmo elemento em
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a função que foi dada:
Vamos verificar se há algum valor que está sendo mapeado para o mesmo elemento por mais de um elemento do domínio.
Passo 4
Observando as imagens:
Percebemos que tanto
quanto
resultam em
. Isso significa que dois elementos diferentes (
e
) estão sendo mapeados para o mesmo elemento em
, que é
.
Passo 5
De acordo com a definição de função injetora, se dois elementos diferentes do domínio apontam para o mesmo elemento no contradomínio, a função não é injetora. Como vimos que
e
, isso viola a condição de injetividade.
Resposta
Portanto, a função dada não é injetora porque os elementos
e
têm a mesma imagem
.
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Determine se
é uma função de um conjunto de todas as cadeias de bits para o cojunjunto dos números inteiros se:
é o menor número inteiro
tal que o i-ésimo bit de
é 1 e
quando
for uma cadeia vazia (uma cadeia sem bits)
Por que
não é uma função de
em
se:
Determine se cada uma das funções abaixo são bijetoras de
para
:
Calcule
, onde
é a esfera unitária
.