Calcule , onde é a parte do plano limitada pelo paraboloide .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla , onde é a parte do plano limitada pelo paraboloide . Aqui, estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente com integrais de superfície. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a superfície e calcular a área dela.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos integrando. Ela é a parte do plano que está dentro do paraboloide . Para achar essa região, precisamos encontrar onde o plano e o paraboloide se intersectam.

Passo 3

Vamos igualar as duas equações para encontrar a curva de interseção:
Substituindo na primeira equação:

Passo 4

Agora, completamos o quadrado para simplificar a equação:
Isso representa um círculo no plano com centro em e raio .

Passo 5

Agora, vamos expressar em termos de e usando a equação do plano:
Então, a integral que precisamos calcular é:
Onde é a região circular .

Passo 6

Para calcular , que é o elemento de área na superfície , usamos a fórmula:
Calculando as derivadas parciais:
Substituindo na fórmula:

Passo 7

Agora, nossa integral fica:
Para facilitar, vamos mudar as coordenadas para o centro do círculo. Definimos:
Então, a região em coordenadas é:
E a expressão para fica:

Passo 8

A integral agora é:
Observando que, devido à simetria do círculo, as integrais de e sobre a região serão zero. Então, sobra apenas:
Áí
A área do círculo é , onde :
Á

Resposta

Portanto, a integral dupla vale:

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Calcule as seguintes integrais definidas, indefinidas e imprópria:
Calcule , onde , e ,