Calcule integral duplaS z d S, onde S é a parte do plano 4 x+2 y-z=0 limitada pelo paraboloide z=x^2+y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla integral duplaS z , dS, onde S é a parte do plano 4x + 2y - z = 0 limitada pelo paraboloide z = x^2 + y^2. Aqui, estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente com integrais de superfície. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a superfície e calcular a área dela.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região S que estamos integrando. Ela é a parte do plano 4x + 2y - z = 0 que está dentro do paraboloide z = x^2 + y^2. Para achar essa região, precisamos encontrar onde o plano e o paraboloide se intersectam.

Passo 3

Vamos igualar as duas equações para encontrar a curva de interseção:
4x + 2y - z = 0 z = x^2 + y^2
Substituindo z na primeira equação:
4x + 2y - (x^2 + y^2) = 0 x^2 + y^2 - 4x - 2y = 0

Passo 4

Agora, completamos o quadrado para simplificar a equação:
x^2 - 4x + y^2 - 2y = 0 (x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 2y + 1) = 4 + 1 (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 5
Isso representa um círculo no plano xy com centro em (2, 1) e raio raiz5.

Passo 5

Agora, vamos expressar z em termos de x e y usando a equação do plano:
z = 4x + 2y
Então, a integral que precisamos calcular é:
integral duplaS z , dS = integral duplaD (4x + 2y) , dS
Onde D é a região circular (x - 2)^2 + (y - 1)^2 <= 5.

Passo 6

Para calcular dS, que é o elemento de área na superfície S, usamos a fórmula:
dS = raiz1 + (partial zpartial x)^2 + (partial zpartial y)^2 , dx , dy
Calculando as derivadas parciais:
partial zpartial x = 4 partial zpartial y = 2
Substituindo na fórmula:
dS = raiz1 + 4^2 + 2^2 , dx , dy = raiz1 + 16 + 4 , dx , dy = raiz21 , dx , dy

Passo 7

Agora, nossa integral fica:
integral duplaS z , dS = raiz21 integral duplaD (4x + 2y) , dx , dy
Para facilitar, vamos mudar as coordenadas para o centro do círculo. Definimos:
u = x - 2 v = y - 1
Então, a região D em coordenadas (u, v) é:
u^2 + v^2 <= 5
E a expressão para z fica:
z = 4(x) + 2(y) = 4(u + 2) + 2(v + 1) = 4u + 8 + 2v + 2 = 4u + 2v + 10

Passo 8

A integral agora é:
raiz21 integral duplau^2 + v^2 <= 5 (4u + 2v + 10) , du , dv
Observando que, devido à simetria do círculo, as integrais de u e v sobre a região serão zero. Então, sobra apenas:
raiz21 integral duplau^2 + v^2 <= 5 10 , du , dv = 10 raiz21 cdot Área do círculo Áí
A área do círculo é pi r^2, onde r = raiz5:
Área = pi ( raiz5 )^2 = 5pi Á

Resposta

Portanto, a integral dupla vale:
integral duplaS z , dS = 50 raiz21 , pi

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