Calcule
, onde
é a parte do plano
limitada pelo paraboloide
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla
, onde
é a parte do plano
limitada pelo paraboloide
. Aqui, estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente com integrais de superfície. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a superfície e calcular a área dela.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
que estamos integrando. Ela é a parte do plano
que está dentro do paraboloide
. Para achar essa região, precisamos encontrar onde o plano e o paraboloide se intersectam.
Passo 3
Vamos igualar as duas equações para encontrar a curva de interseção:
Substituindo
na primeira equação:
Passo 4
Agora, completamos o quadrado para simplificar a equação:
Isso representa um círculo no plano
com centro em
e raio
.
Passo 5
Agora, vamos expressar
em termos de
e
usando a equação do plano:
Então, a integral que precisamos calcular é:
Onde
é a região circular
.
Passo 6
Para calcular
, que é o elemento de área na superfície
, usamos a fórmula:
Calculando as derivadas parciais:
Substituindo na fórmula:
Passo 7
Agora, nossa integral fica:
Para facilitar, vamos mudar as coordenadas para o centro do círculo. Definimos:
Então, a região
em coordenadas
é:
E a expressão para
fica:
Passo 8
A integral agora é:
Observando que, devido à simetria do círculo, as integrais de
e
sobre a região serão zero. Então, sobra apenas:
A área do círculo é
, onde
:
Resposta
Portanto, a integral dupla vale:
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais definidas, indefinidas e imprópria:
Determine uma fórmula para a Soma de Riemann (método dos retângulos) da função
ao longo do intervalo
, obtida dividindo-se o intervalo em
subintervalos iguais ( 2,5 e 10 subintervalos) e os pontos tomados em cada subintervalo são os extremos à esquerda. Faça o gráfico.
Calcule as seguintes integrais definidas, indefinidas e imprópria:
Calcule
, onde
, e
,