Calcule integralGamma F d r, onde F=(3 z-sen x) i+(x^2+e^y) j+(y^3-cos z) k, e Gamma(t)=(cos t, sen t, 1), com 0 <= t <= 2 pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A gente precisa calcular a integral de linha , onde o campo vetorial é dado por . A curva está parametrizada por para . Para resolver isso, vamos precisar usar a parametrização da curva e calcular a integral usando a definição de integral de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir os componentes de F(Gamma(t)) = (3 cdot 1 - sin(cos t)) i + ((cos t)^2 + e^sin t) j + ((sin t)^3 - cos 1) k na função . Isso significa que onde tem , colocamos ; onde tem , colocamos ; e onde tem , colocamos . Assim, se torna:

Passo 3

Agora, precisamos calcular drdt = (-sin t) i + (cos t) j + (0) k , que é a derivada de em relação a multiplicada por . Vamos derivar cada componente de :
Então, .

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar F(Gamma(t)) cdot drdt = (3 - sin(cos t))(-sin t) + (cos^2 t + e^sin t)(cos t) + (sin^3 t - cos 1)(0) :
= -3sin t + sin t sin(cos t) + cos^3 t + cos t e^sin t
Simplificando:

Passo 5

Agora, precisamos integrar essa expressão de integral0^2pi (-3sin t + sin t sin(cos t) + cos^3 t + cos t e^sin t) dt a -3 integral0^2pi sin t , dt + integral0^2pi sin t sin(cos t) , dt + integral0^2pi cos^3 t , dt + integral0^2pi cos t e^sin t , dt :
Vamos quebrar essa integral em partes para facilitar:

Passo 6

Vamos resolver cada integral separadamente:
  1. integral0^2pi cos t e^sin t , dt = integralu(0)^u(2pi) e^u , du = integral0^0 e^u , du = 0
  2. (por simetria, já que a função é ímpar em torno de )
  3. (também por simetria)
Para essa última, usamos substituição: seja , então . Assim:

Resposta

A integral de linha é igual a .

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