Calcule , onde , e ,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A gente precisa calcular a integral de linha , onde o campo vetorial é dado por . A curva está parametrizada por para . Para resolver isso, vamos precisar usar a parametrização da curva e calcular a integral usando a definição de integral de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir os componentes de na função . Isso significa que onde tem , colocamos ; onde tem , colocamos ; e onde tem , colocamos . Assim, se torna:

Passo 3

Agora, precisamos calcular , que é a derivada de em relação a multiplicada por . Vamos derivar cada componente de :
Então, .

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar :
Simplificando:

Passo 5

Agora, precisamos integrar essa expressão de a :
Vamos quebrar essa integral em partes para facilitar:

Passo 6

Vamos resolver cada integral separadamente:
  1. (por simetria, já que a função é ímpar em torno de )
  2. (também por simetria)
Para essa última, usamos substituição: seja , então . Assim:

Resposta

A integral de linha é igual a .

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