Calcule
, onde
, e
,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A gente precisa calcular a integral de linha
, onde o campo vetorial
é dado por
. A curva
está parametrizada por
para
. Para resolver isso, vamos precisar usar a parametrização da curva e calcular a integral usando a definição de integral de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir os componentes de
na função
. Isso significa que onde tem
, colocamos
; onde tem
, colocamos
; e onde tem
, colocamos
. Assim,
se torna:
Passo 3
Agora, precisamos calcular
, que é a derivada de
em relação a
multiplicada por
. Vamos derivar cada componente de
:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, precisamos integrar essa expressão de
a
:
Vamos quebrar essa integral em partes para facilitar:
Passo 6
Vamos resolver cada integral separadamente:
-
-
(por simetria, já que a função é ímpar em torno de ) -
(também por simetria) -
Para essa última, usamos substituição: seja
, então
. Assim:
Resposta
A integral de linha
é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais definidas, indefinidas e imprópria:
Calcule
, onde
é a parte do plano
limitada pelo paraboloide
.
Calcule as seguintes integrais definidas, indefinidas e imprópria:
Sejam
a normal unitária exterior ao conjunto
e
a superfície de
. Se
é um campo vetorial de classe
, mostre que
, usando: o Teorema de Gauss.