Calcule as seguintes integrais definidas, indefinidas e imprópria: integral x cossec^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício envolve cálculo de integrais, especificamente usando o método de integração por partes. Para isso, a gente vai precisar entender como escolher as funções e para aplicar a fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da integral que vão ser e . Uma boa estratégia é escolher como a parte que fica mais simples ao derivar e como o restante. Aqui, vamos escolher:

Passo 3

Agora, vamos calcular v = integral csc^2 x , dx = -cot x e .
Derivando :
Integrando :
Isso porque a integral de é .

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral x csc^2 x , dx = x cdot (-cot x) - integral (-cot x) , dx
= -x cot x + integral cot x , dx

Passo 5

Agora, precisamos calcular a integral de integral cot x , dx = ln |sin x| + C . Sabemos que:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Substituindo de volta na expressão anterior:
integral x csc^2 x , dx = -x cot x + ln |sin x| + C

Resposta

A integral integral x csc^2 x , dx = -x cot x + ln |sin x| + C é igual a , onde é a constante de integração.

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