Calcule as seguintes integrais definidas, indefinidas e imprópria:
Passo 1
Fala aí! Vamos resolver essa integral definida:
Aqui, estamos lidando com integrais definidas e vamos usar técnicas de substituição trigonométrica para resolver. Precisamos lembrar algumas fórmulas de integração e identidades trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Observe que
pode ser reescrito como
. Isso se parece com a forma da identidade trigonométrica
, que sugere uma substituição trigonométrica.
Passo 3
Vamos fazer a substituição:
Então, derivando ambos os lados em relação a
:
Isso vai nos ajudar a simplificar a expressão dentro da integral.
Passo 4
Agora, substituímos
e
na integral original:
Simplificando dentro do denominador:
Portanto, a integral fica:
Passo 5
Simplificando ainda mais:
Então, a integral se torna:
Passo 6
Sabemos que a integral de
é
. Então:
Passo 7
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Lembrando que
, podemos desenhar um triângulo retângulo onde:
E:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão:
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1.
Passo 9
Calculando a integral definida:
Resposta
A integral definida é igual a
.
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. Aqui, o volume é fixo e queremos encontrar o valor da razão
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Calcule
, onde
é a parte do plano
limitada pelo paraboloide
.
Calcule as seguintes integrais definidas, indefinidas e imprópria: