Calcule as seguintes integrais definidas, indefinidas e imprópria:

Passo 1

Fala aí! Vamos resolver essa integral definida:
Aqui, estamos lidando com integrais definidas e vamos usar técnicas de substituição trigonométrica para resolver. Precisamos lembrar algumas fórmulas de integração e identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Observe que pode ser reescrito como . Isso se parece com a forma da identidade trigonométrica , que sugere uma substituição trigonométrica.

Passo 3

Vamos fazer a substituição:
Então, derivando ambos os lados em relação a :
Isso vai nos ajudar a simplificar a expressão dentro da integral.

Passo 4

Agora, substituímos e na integral original:
Simplificando dentro do denominador:
Portanto, a integral fica:

Passo 5

Simplificando ainda mais:
Então, a integral se torna:

Passo 6

Sabemos que a integral de é . Então:

Passo 7

Agora, precisamos voltar para a variável original . Lembrando que , podemos desenhar um triângulo retângulo onde:
E:

Passo 8

Substituindo de volta na expressão:
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1.

Passo 9

Calculando a integral definida:

Resposta

A integral definida é igual a .

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