Calcule as seguintes integrais definidas, indefinidas e imprópria: integral0^1 1(4-x^2)^32 d x

Passo 1

Fala aí! Vamos resolver essa integral definida:
integral0^1 1(4 - x^2)^32 , dx
Aqui, estamos lidando com integrais definidas e vamos usar técnicas de substituição trigonométrica para resolver. Precisamos lembrar algumas fórmulas de integração e identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Observe que pode ser reescrito como . Isso se parece com a forma da identidade trigonométrica , que sugere uma substituição trigonométrica.

Passo 3

Vamos fazer a substituição:
x = 2 sin theta
Então, derivando ambos os lados em relação a dx = 2 cos theta , dtheta :
Isso vai nos ajudar a simplificar a expressão dentro da integral.

Passo 4

Agora, substituímos integral 1(4 - (2 sin theta)^2)^32 cdot 2 cos theta , dtheta e 4 - 4 sin^2 theta = 4 (1 - sin^2 theta) = 4 cos^2 theta na integral original:
integral 1(4 cos^2 theta)^32 cdot 2 cos theta , dtheta
Simplificando dentro do denominador:
Portanto, a integral fica:

Passo 5

Simplificando ainda mais:
(4 cos^2 theta)^32 = 8 cos^3 theta
Então, a integral se torna:
integral 2 cos theta8 cos^3 theta , dtheta = integral 28 cos^2 theta , dtheta = 14 integral sec^2 theta , dtheta

Passo 6

Sabemos que a integral de 14 integral sec^2 theta , dtheta = 14 tan theta + C é . Então:

Passo 7

Agora, precisamos voltar para a variável original sin theta = x2 implies cos theta = raiz1 - (x2)^2 = raiz4 - x^22 . Lembrando que tan theta = sin thetacos theta = x2raiz4 - x^22 = xraiz4 - x^2 , podemos desenhar um triângulo retângulo onde:
E:

Passo 8

Substituindo de volta na expressão:
14 tan theta = 14 cdot xraiz4 - x^2
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1.

Passo 9

Calculando a integral definida:
[ 14 cdot xraiz4 - x^2 ]0^1 = 14 cdot 1raiz4 - 1 - 14 cdot 0raiz4 - 0 = 14 cdot 1raiz3 - 0 = 14raiz3

Resposta

A integral definida é igual a .

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