Calcule , onde é a superfície cujo lado é dado pelo cilindro , cujo fundo é o círculo , e cujo topo é a parte do plano que está acima de .
Resposta:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral dupla , onde é uma superfície composta por três partes:
  1. : o lado do cilindro dado por .
  2. : o fundo, que é o círculo no plano .
  3. : o topo, que é a parte do plano que fica acima de .
Vamos precisar usar conceitos de cálculo de superfícies e parametrizações para resolver essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a integral representa a soma dos valores de em cada ponto da superfície , multiplicados por um elemento infinitesimal de área .
Como é composto por três partes ( , e ), podemos calcular a integral em cada uma dessas partes separadamente e depois somar os resultados.

Passo 3

Calculando para (Fundo):
No fundo, . Então, a contribuição dessa parte para a integral será:
Ou seja, não precisamos nos preocupar com no cálculo final.

Passo 4

Calculando para (Lado do Cilindro):
O cilindro é dado por . Para parametrizar essa superfície, podemos usar coordenadas cilíndricas:
Onde e (já que o topo está definido por ).
O elemento de área em coordenadas cilíndricas é:
Calculando as derivadas:
Então,
Agora, a integral sobre fica:
Integrando em :
Então,
Sabemos que:
Portanto,

Passo 5

Calculando para (Topo):
O topo é a parte do plano acima de . Vamos parametrizar essa superfície.
Como é o círculo no plano , está acima dele, mantendo a mesma projeção circular.
Usando coordenadas polares:
Onde e .
O elemento de área em coordenadas polar é:
Calculando as derivadas:
Então,
Para simplificar, notamos que a inclinação do plano afeta o elemento de área, mas para a integral de , podemos usar a expressão direta.
Assim, a integral sobre é:
Por simplificação e cálculo, após integrar, obtemos:

Resposta

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