Calcule
, onde
é a superfície cujo lado
é dado pelo cilindro
, cujo fundo é o círculo
, e cujo topo
é a parte do plano
que está acima de
.
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral dupla
, onde
é uma superfície composta por três partes:
-
: o lado do cilindro dado por . -
: o fundo, que é o círculo no plano . -
: o topo, que é a parte do plano que fica acima de .
Vamos precisar usar conceitos de cálculo de superfícies e parametrizações para resolver essa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a integral
representa a soma dos valores de
em cada ponto da superfície
, multiplicados por um elemento infinitesimal de área
.
Como
é composto por três partes (
,
e
), podemos calcular a integral em cada uma dessas partes separadamente e depois somar os resultados.
Passo 3
Calculando para
(Fundo):
No fundo,
. Então, a contribuição dessa parte para a integral será:
Ou seja, não precisamos nos preocupar com
no cálculo final.
Passo 4
Calculando para
(Lado do Cilindro):
O cilindro é dado por
. Para parametrizar essa superfície, podemos usar coordenadas cilíndricas:
Onde
e
(já que o topo está definido por
).
O elemento de área em coordenadas cilíndricas é:
Calculando as derivadas:
Então,
Agora, a integral sobre
fica:
Integrando em
:
Então,
Sabemos que:
Portanto,
Passo 5
Calculando para
(Topo):
O topo é a parte do plano
acima de
. Vamos parametrizar essa superfície.
Como
é o círculo
no plano
,
está acima dele, mantendo a mesma projeção circular.
Usando coordenadas polares:
Onde
e
.
O elemento de área em coordenadas polar é:
Calculando as derivadas:
Então,
Para simplificar, notamos que a inclinação do plano afeta o elemento de área, mas para a integral de
, podemos usar a expressão direta.
Assim, a integral sobre
é:
Por simplificação e cálculo, após integrar, obtemos:
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule a integral de superfície
, onde S é a esfera unitária
.
Resposta:
Resposta:
Calcule
, onde
é a superfície
Resposta:
Resposta:
Calcule
, onde
e C é a curva da interseção do plano
com o cilindro
Resposta:
Calcule a integral indefinida: