Calcule integralc F d r, onde F(x, y, z)=-y^2 imath+ x jmath+z^2 k e C é a curva da interseção do plano y+ z=2 com o cilindro x^2+y^2=1

Resposta: pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha , onde o campo vetorial é dado por . A curva é a interseção do plano com o cilindro . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial e parametrização de curvas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a curva . Ela é a interseção entre o plano e o cilindro . Vamos parametrizar essa curva para facilitar o cálculo da integral.

Passo 3

Observando o cilindro x = cos theta, y = sin theta , reconhecemos que e podem ser parametrizados usando funções trigonométricas. Vamos definir:
onde varia de a .

Passo 4

Com base na equação do plano z = 2 - y = 2 - sin theta , podemos expressar r(theta) = cos theta imath + sin theta jmath + (2 - sin theta) k em função de :
Então, nossa parametrização completa para a curva fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada de drdtheta = -sin theta imath + cos theta jmath - cos theta k em relação a dr = (-sin theta imath + cos theta jmath - cos theta k) dtheta para encontrar :
Então:

Passo 6

Vamos substituir F(x, y, z) = -y^2 imath + x jmath + z^2 k = -sin^2 theta imath + cos theta jmath + (2 - sin theta)^2 k , e na função usando nossa parametrização:

Passo 7

Agora, calculamos o produto escalar F cdot dr = (-sin^2 theta)(-sin theta) + (cos theta)(cos theta) + (2 - sin theta)^2(-cos theta) :
sin^3 theta + cos^2 theta - cos theta (4 - 4sin theta + sin^2 theta)
Simplificando:

Passo 8

Agora, integramos de integral0^2pi ( sin^3 theta + cos^2 theta - cos theta (4 - 4sin theta + sin^2 theta) ) dtheta a :
Resolvendo cada termo separadamente, percebemos que muitos se anulam devido à periodicidade das funções trigonométricas.

Passo 9

Após calcular a integral, fica:
integralC F cdot dr = pi

Resposta

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