Calcule , onde e C é a curva da interseção do plano com o cilindro

Resposta:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha , onde o campo vetorial é dado por . A curva é a interseção do plano com o cilindro . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial e parametrização de curvas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a curva . Ela é a interseção entre o plano e o cilindro . Vamos parametrizar essa curva para facilitar o cálculo da integral.

Passo 3

Observando o cilindro , reconhecemos que e podem ser parametrizados usando funções trigonométricas. Vamos definir:
onde varia de a .

Passo 4

Com base na equação do plano , podemos expressar em função de :
Então, nossa parametrização completa para a curva fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a para encontrar :
Então:

Passo 6

Vamos substituir , e na função usando nossa parametrização:

Passo 7

Agora, calculamos o produto escalar :
Simplificando:

Passo 8

Agora, integramos de a :
Resolvendo cada termo separadamente, percebemos que muitos se anulam devido à periodicidade das funções trigonométricas.

Passo 9

Após calcular a integral, fica:

Resposta

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