Calcule
, onde
e C é a curva da interseção do plano
com o cilindro
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha
, onde o campo vetorial
é dado por
. A curva
é a interseção do plano
com o cilindro
. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial e parametrização de curvas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a curva
. Ela é a interseção entre o plano
e o cilindro
. Vamos parametrizar essa curva para facilitar o cálculo da integral.
Passo 3
Observando o cilindro
, reconhecemos que
e
podem ser parametrizados usando funções trigonométricas. Vamos definir:
onde
varia de
a
.
Passo 4
Com base na equação do plano
, podemos expressar
em função de
:
Então, nossa parametrização completa para a curva
fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
para encontrar
:
Então:
Passo 6
Vamos substituir
,
e
na função
usando nossa parametrização:
Passo 7
Agora, calculamos o produto escalar
:
Simplificando:
Passo 8
Agora, integramos de
a
:
Resolvendo cada termo separadamente, percebemos que muitos se anulam devido à periodicidade das funções trigonométricas.
Passo 9
Após calcular a integral, fica:
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
é a superfície cujo lado
é dado pelo cilindro
, cujo fundo é o círculo
, e cujo topo
é a parte do plano
que está acima de
.
Resposta:
Calcule a integral de superfície
, onde S é a esfera unitária
.
Resposta:
Resposta:
Calcule a integral indefinida:
Calcule a integral indefinida: