Calcule a integral indefinida:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular duas integrais indefinidas. Isso envolve o conteúdo de Cálculo Integral, especificamente a técnica de frações parciais. Vamos precisar fatorar os denominadores para simplificar as expressões e então usar as frações parciais para facilitar a integração.

Passo 2

Vamos começar com a primeira integral:

Primeiro, vamos fatorar o denominador. Observamos que:
Agora, fatoramos o polinômio cúbico:

Então, o denominador fica:

Passo 3

Agora, a integral fica:

Vamos decompor essa fração em frações parciais. Assumimos que:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:

Vamos escolher valores de para facilitar a resolução:
- Para :
  • Para :
    Agora, derivando e substituindo outros valores, podemos encontrar e . Após resolver, encontramos:

Passo 4

Substituindo os valores encontrados:

Agora, podemos integrar termo a termo:
Integrando:

Passo 5

Agora, vamos para a segunda integral:

Primeiro, vamos fatorar o denominador:
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos decompor a fração em frações parciais. Assumimos que:

Multiplicando ambos os lados por :
Expandindo:

Agrupando os termos:
Igualando os coeficientes:

Resolvendo o sistema:
- Da primeira equação:
- Substituindo na segunda:
- Então,

Passo 7

Substituindo os valores encontrados:

Simplificando:
Agora, vamos integrar:

Integrando:
Simplificando:

Resposta

As integrais resolvidas são:

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Calcule a integral indefinida:
Calcule a integral indefinida: