Calcule a integral indefinida:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular duas integrais indefinidas. Isso envolve o conteúdo de Cálculo Integral, especificamente a técnica de frações parciais. Vamos precisar fatorar os denominadores para simplificar as expressões e então usar as frações parciais para facilitar a integração.
Passo 2
Vamos começar com a primeira integral:
Primeiro, vamos fatorar o denominador. Observamos que:
Agora, fatoramos o polinômio cúbico:
Então, o denominador fica:
Passo 3
Agora, a integral fica:
Vamos decompor essa fração em frações parciais. Assumimos que:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Vamos escolher valores de
- Para
- Para
:
Agora, derivando e substituindo outros valores, podemos encontrare . Após resolver, encontramos:
Passo 4
Substituindo os valores encontrados:
Agora, podemos integrar termo a termo:
Integrando:
Passo 5
Agora, vamos para a segunda integral:
Primeiro, vamos fatorar o denominador:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos decompor a fração em frações parciais. Assumimos que:
Multiplicando ambos os lados por
Expandindo:
Agrupando os termos:
Igualando os coeficientes:
Resolvendo o sistema:
- Da primeira equação:
- Substituindo na segunda:
- Então,
Passo 7
Substituindo os valores encontrados:
Simplificando:
Agora, vamos integrar:
Integrando:
Simplificando:
Resposta
As integrais resolvidas são:
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
e C é a curva da interseção do plano
com o cilindro
Resposta:
Calcule
, onde
é a superfície cujo lado
é dado pelo cilindro
, cujo fundo é o círculo
, e cujo topo
é a parte do plano
que está acima de
.
Resposta:
Calcule a integral indefinida:
Calcule a integral indefinida: