Calcule a integral indefinida:
integral d xx^4-3 x^3+3 x^2-x integral 2 x+12 x^2+3 x-2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular duas integrais indefinidas. Isso envolve o conteúdo de Cálculo Integral, especificamente a técnica de frações parciais. Vamos precisar fatorar os denominadores para simplificar as expressões e então usar as frações parciais para facilitar a integração.

Passo 2

Vamos começar com a primeira integral:
integral dxx^4-3x^3+3x^2-x
Primeiro, vamos fatorar o denominador. Observamos que:
x^4-3x^3+3x^2-x = x(x^3-3x^2+3x-1)
Agora, fatoramos o polinômio cúbico:
x^3-3x^2+3x-1 = (x-1)^3
Então, o denominador fica:
x(x-1)^3

Passo 3

Agora, a integral fica:
integral dxx(x-1)^3
Vamos decompor essa fração em frações parciais. Assumimos que:
1x(x-1)^3 = Ax + Bx-1 + C(x-1)^2 + D(x-1)^3
Multiplicando ambos os lados por x(x-1)^3 para eliminar os denominadores:
1 = A(x-1)^3 + Bx(x-1)^2 + Cx(x-1) + Dx
Vamos escolher valores de x para facilitar a resolução:
- Para x = 0:
1 = A(-1)^3 Rightarrow A = -1
  • Para x = 1: 1 = D(1) Rightarrow D = 1
    Agora, derivando e substituindo outros valores, podemos encontrar B e C. Após resolver, encontramos:
    B = 1
C = 2

Passo 4

Substituindo os valores encontrados:
1x(x-1)^3 = -1x + 1x-1 + 2(x-1)^2 + 1(x-1)^3
Agora, podemos integrar termo a termo:
integral ( -1x + 1x-1 + 2(x-1)^2 + 1(x-1)^3 ) dx
Integrando:
- ln|x| + ln|x-1| - 2x-1 - 12(x-1)^2 + C

Passo 5

Agora, vamos para a segunda integral:
integral 2x+12x^2+3x-2 dx
Primeiro, vamos fatorar o denominador:
2x^2+3x-2 = (2x -1)(x +2)
Então, a integral fica:
integral 2x+1(2x -1)(x +2) dx

Passo 6

Vamos decompor a fração em frações parciais. Assumimos que:
2x+1(2x -1)(x +2) = A2x -1 + Bx +2
Multiplicando ambos os lados por (2x -1)(x +2):
2x +1 = A(x +2) + B(2x -1)
Expandindo:
2x +1 = A x + 2A + 2B x - B
Agrupando os termos:
2x +1 = (A + 2B)x + (2A - B)
Igualando os coeficientes:
A + 2B = 2
2A - B = 1
Resolvendo o sistema:
- Da primeira equação: A = 2 - 2B
- Substituindo na segunda: 2(2 - 2B) - B =1 Rightarrow 4 -4B - B =1 Rightarrow -5B = -3 Rightarrow B = 35
- Então, A =2 -2(35) =2 - 65 = 45

Passo 7

Substituindo os valores encontrados:
2x+1(2x -1)(x +2) = 452x -1 + 35x +2
Simplificando:
45 cdot 12x -1 + 35 cdot 1x +2
Agora, vamos integrar:
45 integral 12x -1 dx + 35 integral 1x +2 dx
Integrando:
45 cdot 12 ln|2x -1| + 35 ln|x +2| + C
Simplificando:
25 ln|2x -1| + 35 ln|x +2| + C

Resposta

As integrais resolvidas são:
  1. - ln|x| + ln|x-1| - 2x-1 - 12(x-1)^2 + C
  2. 25 ln|2x -1| + 35 ln|x +2| + C

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