Calcule a integral de superfície integral duplaS x^2 d S, onde S é a esfera unitária x^2+y^2+z^2=1.
Resposta: 4 pi3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de superfície , onde é a esfera unitária definida por . A matéria que vamos usar aqui é cálculo multivariável, mais especificamente integrais de superfície. Precisamos entender como integrar funções sobre superfícies tridimensionais, e vamos usar a simetria da esfera para facilitar nosso cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em uma esfera unitária integral duplaS x^2 dS = integral duplaS y^2 dS = integral duplaS z^2 dS , todas as direções são simétricas. Isso significa que a integral de , e sobre a superfície da esfera vão dar o mesmo resultado. Ou seja:

Passo 3

Sabemos que, na esfera, integral duplaS x^2 dS + integral duplaS y^2 dS + integral duplaS z^2 dS = integral duplaS (x^2 + y^2 + z^2) dS = integral duplaS 1 dS . Então, se somarmos as três integrais, temos:
A integral de 1 sobre a superfície da esfera é simplesmente a área da esfera.

Passo 4

A área da esfera unitária é integral duplaS x^2 dS + integral duplaS y^2 dS + integral duplaS z^2 dS = 4pi . Então:
3 integral duplaS x^2 dS = 4pi
Como todas as três integrais são iguais, podemos escrever:

Passo 5

Agora, isolamos a integral que queremos:
integral duplaS x^2 dS = 4pi3

Resposta

4 pi3

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