Calcule a integral de superfície
, onde S é a esfera unitária
.
Resposta:
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de superfície
, onde
é a esfera unitária definida por
. A matéria que vamos usar aqui é cálculo multivariável, mais especificamente integrais de superfície. Precisamos entender como integrar funções sobre superfícies tridimensionais, e vamos usar a simetria da esfera para facilitar nosso cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em uma esfera unitária
, todas as direções são simétricas. Isso significa que a integral de
,
e
sobre a superfície da esfera vão dar o mesmo resultado. Ou seja:
Passo 3
Sabemos que, na esfera,
. Então, se somarmos as três integrais, temos:
A integral de 1 sobre a superfície da esfera é simplesmente a área da esfera.
Passo 4
A área da esfera unitária é
. Então:
Como todas as três integrais são iguais, podemos escrever:
Passo 5
Agora, isolamos a integral que queremos: