Calcule a integral de superfície , onde S é a esfera unitária .
Resposta:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de superfície , onde é a esfera unitária definida por . A matéria que vamos usar aqui é cálculo multivariável, mais especificamente integrais de superfície. Precisamos entender como integrar funções sobre superfícies tridimensionais, e vamos usar a simetria da esfera para facilitar nosso cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em uma esfera unitária , todas as direções são simétricas. Isso significa que a integral de , e sobre a superfície da esfera vão dar o mesmo resultado. Ou seja:

Passo 3

Sabemos que, na esfera, . Então, se somarmos as três integrais, temos:
A integral de 1 sobre a superfície da esfera é simplesmente a área da esfera.

Passo 4

A área da esfera unitária é . Então:
Como todas as três integrais são iguais, podemos escrever:

Passo 5

Agora, isolamos a integral que queremos:

Resposta

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