Calcule , onde é a superfície
Resposta:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral de superfície dupla de sobre a superfície definida pela equação , onde varia de 0 a 1 e varia de 0 a 2. Para resolver isso, vamos usar o conceito de integrais de superfície em cálculo multivariável.

Passo 2

Para calcular a integral de superfície , precisamos primeiro encontrar a expressão para , que representa um elemento de área na superfície . Se a superfície é dada por , então:

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de em relação a e :
Substituindo na expressão de :

Passo 4

Agora, substituímos na integral original:
Onde é a região de integração com e .

Passo 5

Como a expressão não depende de , podemos integrar primeiro em relação a :
Então, a integral se simplifica para:

Passo 6

Fazemos uma substituição para facilitar a integração. Deixemos:
Substituindo na integral:

Passo 7

Integrando:
Voltando para a variável original :

Passo 8

Agora, avaliamos a integral definida de a :

Resposta

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