Calcule
, onde
é a superfície
Resposta:
Resposta:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral de superfície dupla de
sobre a superfície
definida pela equação
, onde
varia de 0 a 1 e
varia de 0 a 2. Para resolver isso, vamos usar o conceito de integrais de superfície em cálculo multivariável.
Passo 2
Para calcular a integral de superfície
, precisamos primeiro encontrar a expressão para
, que representa um elemento de área na superfície
. Se a superfície é dada por
, então:
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Substituindo na expressão de
:
Passo 4
Agora, substituímos
na integral original:
Onde
é a região de integração com
e
.
Passo 5
Como a expressão não depende de
, podemos integrar primeiro em relação a
:
Então, a integral se simplifica para:
Passo 6
Fazemos uma substituição para facilitar a integração. Deixemos:
Substituindo na integral:
Passo 7
Integrando:
Voltando para a variável original
:
Passo 8
Agora, avaliamos a integral definida de
a
: