Calcule integral duplaS y d S, onde S é a superfície z=x+ y^2, 0 <= x <= 1,0 <= y <= 2
Resposta: 13 raiz23

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral de superfície dupla de sobre a superfície definida pela equação , onde varia de 0 a 1 e varia de 0 a 2. Para resolver isso, vamos usar o conceito de integrais de superfície em cálculo multivariável.

Passo 2

Para calcular a integral de superfície dS = raiz1 + (partial zpartial x)^2 + (partial zpartial y)^2 , dx , dy , precisamos primeiro encontrar a expressão para , que representa um elemento de área na superfície . Se a superfície é dada por , então:

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de partial zpartial x = 1 em relação a partial zpartial y = 2y e dS = raiz1 + (1)^2 + (2y)^2 , dx , dy = raiz2 + 4y^2 , dx , dy :
Substituindo na expressão de :

Passo 4

Agora, substituímos integral duplaS y , dS = integral duplaD y raiz2 + 4y^2 , dx , dy na integral original:
Onde é a região de integração com e .

Passo 5

Como a expressão não depende de integral0^1 dx = 1 , podemos integrar primeiro em relação a integral0^2 y raiz2 + 4y^2 , dy :
Então, a integral se simplifica para:

Passo 6

Fazemos uma substituição para facilitar a integração. Deixemos:
u = 2 + 4y^2
dudy = 8y Rightarrow y , dy = du8
Substituindo na integral:
integral y raiz2 + 4y^2 , dy = integral raizu cdot du8 = 18 integral u^1/2 , du

Passo 7

Integrando:
18 cdot 23 u^3/2 + C = 112 u^3/2 + C
Voltando para a variável original 112 (2 + 4y^2)^3/2 :

Passo 8

Agora, avaliamos a integral definida de [ 112 (2 + 4y^2)^3/2 ]0^2 = 112 (2 + 4(2)^2)^3/2 - 112 (2 + 4(0)^2)^3/2 a = 112 (2 + 16)^3/2 - 112 (2)^3/2 :
= 112 (18)^3/2 - 112 (2)^3/2
= 112 (18 cdot raiz18) - 112 (2 cdot raiz2)
= 18 raiz18 - 2 raiz212
= 6 raiz18 - 23 raiz24
= 13 raiz23

Resposta

13 raiz23

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