Encontre o centro de massa de um funil cônico de equação com altura e densidade superficial de massa uniforme.
Resposta:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o centro de massa de um funil cônico com a equação , altura e densidade superficial de massa uniforme. Isso significa que a distribuição de massa é igual em todas as partes do funil. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria e cálculo, especificamente integração para encontrar o centro de massa de superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma do funil. A equação descreve um cone circular reto, onde a altura é . Isso significa que o eixo do cone está alinhado com o eixo , e a base do cone está no plano .

Passo 3

O centro de massa de um objeto é o ponto onde podemos considerar que toda a massa está concentrada. Para superfícies bidimensionais como o nosso funil, o centro de massa no eixo pode ser encontrado usando a fórmula:
onde é um elemento de área da superfície.

Passo 4

Vamos parametrizar a superfície do cone. Usando coordenadas cilíndricas, onde é o raio, é o ângulo e é a altura, temos que no cone . Portanto, os limites são de 0 a e de 0 a .

Passo 5

O elemento de área na coordenada cilíndrica para uma superfície pode ser expresso como:
No nosso caso, , então . Assim,

Passo 6

Agora, calculamos a integral no numerador para :
Primeiro calculamos a integral interna:
Então,

Passo 7

Agora, calculamos a integral no denominador:
Integral interna:
Então,

Passo 8

Agora, substituímos as integrais na fórmula do centro de massa:

Resposta

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