Encontre o centro de massa de um funil cônico de equação
com altura
e densidade superficial de massa uniforme.
Resposta:
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o centro de massa de um funil cônico com a equação
, altura
e densidade superficial de massa uniforme. Isso significa que a distribuição de massa é igual em todas as partes do funil. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria e cálculo, especificamente integração para encontrar o centro de massa de superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a forma do funil. A equação
descreve um cone circular reto, onde a altura é
. Isso significa que o eixo do cone está alinhado com o eixo
, e a base do cone está no plano
.
Passo 3
O centro de massa de um objeto é o ponto onde podemos considerar que toda a massa está concentrada. Para superfícies bidimensionais como o nosso funil, o centro de massa no eixo
pode ser encontrado usando a fórmula:
onde
é um elemento de área da superfície.
Passo 4
Vamos parametrizar a superfície do cone. Usando coordenadas cilíndricas, onde
é o raio,
é o ângulo e
é a altura, temos que no cone
. Portanto, os limites são
de 0 a
e
de 0 a
.
Passo 5
O elemento de área na coordenada cilíndrica para uma superfície pode ser expresso como:
No nosso caso,
, então
. Assim,
Passo 6
Agora, calculamos a integral no numerador para
:
Primeiro calculamos a integral interna:
Então,
Passo 7
Agora, calculamos a integral no denominador:
Integral interna:
Então,
Passo 8
Agora, substituímos as integrais na fórmula do centro de massa:
Resposta
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Determine a área da parte do paraboloide
que está abaixo do plano
.
Resposta:
Resposta:
A tempera num ponto
é dada por
, onde
é medido em graus Celsius e x, y e
em metros.
c) Encontre a taxa máxima de crescimento em .
c) Encontre a taxa máxima de crescimento em
Calcule
, onde
é a superfície
Resposta:
Resposta:
Calcule a integral de superfície
, onde S é a esfera unitária
.
Resposta:
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